tite fractale

Calcul des prédicats, exercices

1. Un quantificateur

1.1. Socrate

Soit $P$ la proposition : « Tous les hommes sont mortels. ».

1) Trouver $E$, $x$ et $M(x)$, notations qui serviront à formaliser $P$, (comme dans le cours).

2) Formaliser $P$ à l’aide du 1) et d’un quantificateur.

3) Énoncer $\neg P$ de deux façons, en français et à l’aide de la notation mathématique.

Mêmes questions pour :

1.2. Trouver le quantificateur

Voici des prédicats. Quels quantificateurs permettent d’obtenir des propositions vraies ?

1.3. Valeur et négation

Voici quelques propositions. Donner leur valeur de vérité puis énoncer leur négation.

  1. $\forall x \in \mathbb R, (3x + 18)^2 > 0$
  2. $\forall x \in \mathbb R, x^2 \ge 0$
  3. $\forall x \in \mathbb R, x^2 \ge x$
  4. $\exists x \in \mathbb R, x^2 = x$

1.4. Correspondances français-quantificateurs

Dans cet exercice, on dira indifféremment :

Pour chaque proposition numérotée ci-dessous, écrire une phrase en français dans le genre de :

Voici les propositions :

  1. $\exists x, A(x) \wedge B(x)$
  2. $\exists x, A(x) \wedge \neg B(x)$
  3. $\exists x, A(x) \vee B(x)$
  4. $\exists x, A(x) \vee \neg B(x)$
  5. $\exists x, A(x) \Rightarrow B(x)$
  6. $\exists x, A(x) \Rightarrow \neg B(x)$
  7. $\exists x, \neg A(x) \wedge B(x)$
  8. $\exists x, \neg A(x) \wedge \neg B(x)$
  9. $\exists x, \neg A(x) \vee B(x)$
  10. $\exists x, \neg A(x) \vee \neg B(x)$
  11. $\exists x, \neg A(x) \Rightarrow B(x)$
  12. $\exists x, \neg A(x) \Rightarrow \neg B(x)$
  13. $\forall x, A(x) \wedge B(x)$
  14. $\forall x, A(x) \wedge \neg B(x)$
  15. $\forall x, A(x) \vee B(x)$
  16. $\forall x, A(x) \vee \neg B(x)$
  17. $\forall x, A(x) \Rightarrow B(x)$
  18. $\forall x, A(x) \Rightarrow \neg B(x)$
  19. $\forall x, \neg A(x) \wedge B(x)$
  20. $\forall x, \neg A(x) \wedge \neg B(x)$
  21. $\forall x, \neg A(x) \vee B(x)$
  22. $\forall x, \neg A(x) \vee \neg B(x)$
  23. $\forall x, \neg A(x) \Rightarrow B(x)$
  24. $\forall x, \neg A(x) \Rightarrow \neg B(x)$

2. Deux quantificateurs

2.1. Égalité

Soient $x$ et $y$ des nombres. Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses.

2.2. Double et moitié

On rappelle que $\mathbb R$ et $\mathbb Z$ sont respectivement l’ensemble des nombres réels et l’ensemble des nombres entiers relatifs.

1) Si on écrit $y = 2x$, quel nombre est le double de l’autre, quel nombre est la moitié de l’autre ? Même question avec $y = \frac{1}{2} x$.

2) On considère la proposition $P$ : $$\forall x \in \mathbb R, \exists y \in \mathbb R, y = \frac{1}{2} x$$

a) $P$ est-elle vraie ? Pourquoi ?

b) Énoncer $\neg P$. Dire si $\neg P$ est vraie. Justifier de deux façons.

3) On considère la proposition $Q$ : $$\forall x \in \mathbb Z, \exists y \in \mathbb Z, y = \frac{1}{2} x$$

a) $Q$ est-elle vraie ? Pourquoi ?

b) Énoncer $\neg Q$. Dire si $\neg Q$ est vraie. Justifier de deux façons.

2.3. Valeur et négation

Voici quelques propositions. Donner leur valeur de vérité puis énoncer leur négation.

  1. $\forall x \in \mathbb R, \exists y \in \mathbb R, x^2 + y < 0$
  2. $\exists y \in \mathbb R, \forall x \in \mathbb R, x^2 + y < 0$
  3. $\forall y \in \mathbb R, \exists x \in \mathbb R, x^2 + y < 0$

2.4. Carrés et sommes

Voici quelques propositions :

  1. Toute somme de deux nombres réels a pour carré la somme des carrés de ces deux nombres.
  2. Pour tous réels $x$ et $y$, si $x^2 = y^2$ alors $x = y$.

Pour chacune de ces propositions :

  1. La traduire à l’aide de quantificateurs et de prédicats.
  2. Construire la négation à l’aide de quantificateurs et de prédicats.
  3. Dire si la proposition originale est vraie ou fausse, et confirmer en étudiant la négation.



Christophe Gragnic, le 20/02/2015, 15h44'14".






Page générée le 04/12/2016, 10h08'07" (source).
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