1. Un quantificateur

1.1. Socrate

Soit $P$ la proposition : « Tous les hommes sont mortels. ».

1) Trouver $E$, $x$ et $M(x)$, notations qui serviront à formaliser $P$, (comme dans le cours).

2) Formaliser $P$ à l’aide du 1) et d’un quantificateur.

3) Énoncer $\neg P$ de deux façons, en français et à l’aide de la notation mathématique.

Mêmes questions pour :

• « Un de ces cartons est vide. »
• « Aucun éléphant ne peut voler. »
• « Il n’y a pas un jour sans pluie. »
• « Un de ces ordinateurs ne fonctionne pas. »

1.2. Trouver le quantificateur

Voici des prédicats. Quels quantificateurs permettent d’obtenir des propositions vraies ?

• $P(x)$ : « $x^2 - 1 > 0$ »
• $Q(x)$ : « $x + 1 = 0$ »
• $R(x)$ : « $x^2 + 1 > 0$ »

1.3. Valeur et négation

Voici quelques propositions. Donner leur valeur de vérité puis énoncer leur négation.

1. $\forall x \in \mathbb R, (3x + 18)^2 > 0$
2. $\forall x \in \mathbb R, x^2 \ge 0$
3. $\forall x \in \mathbb R, x^2 \ge x$
4. $\exists x \in \mathbb R, x^2 = x$

1.4. Correspondances français-quantificateurs

Dans cet exercice, on dira indifféremment :

• un individu est $A$,
• un individu $x$ est $A$,
• pour un individu $x$, $A(x)$ est vrai,
• …

Pour chaque proposition numérotée ci-dessous, écrire une phrase en français dans le genre de :

• Il existe un individu qui n’est ni A ni B.
• Tous les A sont B.
• Certains A sont B.
• Aucun A n’est B.
• Certains A ne sont pas B.
• …

Voici les propositions :

1. $\exists x, A(x) \wedge B(x)$
2. $\exists x, A(x) \wedge \neg B(x)$
3. $\exists x, A(x) \vee B(x)$
4. $\exists x, A(x) \vee \neg B(x)$
5. $\exists x, A(x) \Rightarrow B(x)$
6. $\exists x, A(x) \Rightarrow \neg B(x)$
7. $\exists x, \neg A(x) \wedge B(x)$
8. $\exists x, \neg A(x) \wedge \neg B(x)$
9. $\exists x, \neg A(x) \vee B(x)$
10. $\exists x, \neg A(x) \vee \neg B(x)$
11. $\exists x, \neg A(x) \Rightarrow B(x)$
12. $\exists x, \neg A(x) \Rightarrow \neg B(x)$
13. $\forall x, A(x) \wedge B(x)$
14. $\forall x, A(x) \wedge \neg B(x)$
15. $\forall x, A(x) \vee B(x)$
16. $\forall x, A(x) \vee \neg B(x)$
17. $\forall x, A(x) \Rightarrow B(x)$
18. $\forall x, A(x) \Rightarrow \neg B(x)$
19. $\forall x, \neg A(x) \wedge B(x)$
20. $\forall x, \neg A(x) \wedge \neg B(x)$
21. $\forall x, \neg A(x) \vee B(x)$
22. $\forall x, \neg A(x) \vee \neg B(x)$
23. $\forall x, \neg A(x) \Rightarrow B(x)$
24. $\forall x, \neg A(x) \Rightarrow \neg B(x)$

Exemple avec le numéro 8 : il existe un individu qui n’est ni A ni B.

2. Deux quantificateurs

2.1. Égalité

Soient $x$ et $y$ des nombres. Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses.

• $P$ : « $\exists x, \exists y, y = x$ »
• $Q$ : « $\exists x, \forall y, y = x$ »
• $R$ : « $\forall x, \exists y, y = x$ »
• $S$ : « $\forall x, \forall y, y = x$ »

2.2. Double et moitié

On rappelle que $\mathbb R$ et $\mathbb Z$ sont respectivement l’ensemble des nombres réels et l’ensemble des nombres entiers relatifs.

1) Si on écrit $y = 2x$, quel nombre est le double de l’autre, quel nombre est la moitié de l’autre ? Même question avec $y = \frac{1}{2} x$.

2) On considère la proposition $P$ : $$\forall x \in \mathbb R, \exists y \in \mathbb R, y = \frac{1}{2} x$$

a) $P$ est-elle vraie ? Pourquoi ?

b) Énoncer $\neg P$. Dire si $\neg P$ est vraie. Justifier de deux façons.

3) On considère la proposition $Q$ : $$\forall x \in \mathbb Z, \exists y \in \mathbb Z, y = \frac{1}{2} x$$

a) $Q$ est-elle vraie ? Pourquoi ?

b) Énoncer $\neg Q$. Dire si $\neg Q$ est vraie. Justifier de deux façons.

2.3. Valeur et négation

Voici quelques propositions. Donner leur valeur de vérité puis énoncer leur négation.

1. $\forall x \in \mathbb R, \exists y \in \mathbb R, x^2 + y < 0$
2. $\exists y \in \mathbb R, \forall x \in \mathbb R, x^2 + y < 0$
3. $\forall y \in \mathbb R, \exists x \in \mathbb R, x^2 + y < 0$

2.4. Carrés et sommes

Voici quelques propositions :

1. Toute somme de deux nombres réels a pour carré la somme des carrés de ces deux nombres.
2. Pour tous réels $x$ et $y$, si $x^2 = y^2$ alors $x = y$.

Pour chacune de ces propositions :

• La traduire à l’aide de quantificateurs et de prédicats.
• Construire la négation à l’aide de quantificateurs et de prédicats.
• Dire si la proposition originale est vraie ou fausse, et confirmer en étudiant la négation.