1. Division euclidienne

1.1. Effectuer les divisions

Écrire la division euclidienne de :

1. 118 par 23
2. 427 par 13

1.2. Restes et dividendes possibles

1. Le quotient d’un entier a par 3 est 7.
   Quels sont les restes possibles ?
   Quelles sont les valeurs possibles de a ?
2. Le quotient d’un entier b par 13 est 5.
   Quels sont les restes possibles ?
   Quelles sont les valeurs possibles de b ?

1.3. Trouver les dividendes

1. La somme de deux entiers a et b est 444. La division euclidienne de a par b donne 4 pour quotient et 24 pour reste.
   Déterminer a et b.
2. La somme de deux entiers a et b est 416. La division euclidienne de a par b donne 4 pour quotient et 61 pour reste.
   Déterminer a et b.

1.4. Multiple de 7 mystérieux

Soit les nombres $s_1=1$, $s_2=11$, $s_3=111$,… et $s_8=11111111$.

1. Justifier que parmi ces huit nombres, au moins deux ont le même reste dans la division euclidienne par 7.
2. On note $s_p$ et $s_q$ ces deux entiers, avec $1 ≤ p ≤ q ≤ 8$. Pourquoi $s_q - s_p$ est-il un multiple de 7 ?
3. En déduire l’existence d’un multiple de 7 qui ne s’écrit qu’avec des 0 et des 1.

1.5. Jeu des allumettes

1.5.1. 10 allumettes avec une prise max de 3

Deux joueurs sont face à un tas de 10 allumettes. Tour à tour, chaque joueur peut prendre 1, 2 ou 3 allumettes. Celui qui prend la dernière a perdu.

Le premier joueur a-t-il une stratégie gagnante ? Y a-t-il un rapport avec le cours ?

1.5.2. 9 allumettes avec une prise max de 3

Le premier joueur a-t-il une stratégie gagnante ?

1.5.3. n allumettes avec une prise max de m

Généraliser et jouer par deux en variant le nombre d’allumettes et la prise max.

2. Multiples et diviseurs

2.1. Critères en base 10 puis en base 16

Après un rappel des critères de divisibilité en base 10 et leur preuve, Donner leur équivalent en hexadécimal (il n’est pas demandé de preuve).

Et en binaire ?

2.2. Multiples de 37

Justifier que les nombres suivants sont divisibles par 37 :

1. les nombres de trois chiffres identiques (222, 777, …),
2. les nombres de six chiffres identiques (333333, 888888, …),
3. les nombres écrits en juxtaposant trois fois deux chiffres identiques (717171, …),

2.3. Somme de trois entiers consécutifs

Démontrer que la somme de trois nombres consécutifs est un multiple de 3.

3. Nombres premiers

3.1. Puzzle circulaire

Arranger les nombres entiers de 1 à 14 sur un cercle, de façon à ce que la somme, mais aussi la différence (positive) de deux nombres voisins soient des nombres premiers.

Référence

3.2. Tests de primalité

Dire si les nombres proposés sont premiers :

1. a=4825; b=7281; c=2309; d=2501.
2. a=2003; b=2257; c=6197; d=11323.

3.3. Nombres premiers à suffixes

Un « nombre premier à suffixes » (traduction officieuse de suffix prime) est un nombre premier dont tous les suffixes (nombres obtenus en retirant un ou plusieurs chiffres en tête du nombre) sont encore premiers.

Donner tous les nombres premiers à suffixe à trois chiffres. Comment les organiser visuellement ?

Référence (et donc réponses) :
http://www.johndcook.com/blog/2013/10/03/visualizing-suffix-primes/

3.4. Décomposition

Décomposer les nombres suivants en produit de nombres premiers :

1. a=600; b=4998; c=41724; d=57132.
2. a=400; b=13050; c=13552; d=11737.

3.5. Décomposition et diviseurs

Décomposer les nombres suivants en produit de nombres premiers, et trouver tous leurs diviseurs.

a=72; b=220; c=450; d=1352.

3.6. Carré parfait diviseur de…

On cherche à simplifier $\sqrt {416}$. Trouver le plus grand carré qui divise 416 et simplifier.

Rédiger un algorithme simple, pas forcément efficace, qui prend en entrée un entier $n$ et affiche les nombres $p$ et $q$ tels que $\sqrt n = p \sqrt q$.

3.7. Carré parfait multiple de…

Quel est le plus petit carré parfait divisible par 616 ?

Rédiger un algorithme simple, pas forcément efficace, qui prend en entrée un entier $n$ et affiche le plus petit carré parfait divisible par $n$.

3.8. Exactement trois diviseurs

Quels sont les nombres entiers qui n’ont que 3 diviseurs.

3.9. Nombre de facteurs fixé

Quel est le plus petit entier qui a exactement 10 diviseurs ? 9 ? 48 ? 100 ?

Merci à Cut the knot.

3.10. Somme de diviseurs

Après avoir lu les informations nécessaires sur cette page et quelques autres, écrire un ou des algorithmes pour déterminer si un nombre est :

• parfait,
• déficient,
• abondants.

4. PGCD

4.1. Calcul de PGCD avec ensembles de diviseurs

Trouver l’ensemble D(a) des diviseurs de a, et D(b) des diviseurs de b. En déduire le PGCD de a et b.

1. a=24 et b=18
2. a=150 et b=240
3. a=60 et b=84
4. a=150 et b=77

4.2. Avec décomposition en facteurs premiers

Vérifier les résultats de l’exercice précédent à l’aide des décompositions en facteurs premiers de chaque nombre. Quelle technique est la plus efficace ?

4.3. Algorithme d’Euclide, application

Utiliser l’algorithme d’Euclide pour trouver le PGCD des nombres suivants :

1. 144 et 840
2. 202 et 138
3. 147 et 490

4.4. Algorithme d’Euclide, rédaction

Écrire un algorithme qui donne le PGCD de deux nombres entrés.

Remarque : Il est intéressant de remarquer qu’il n’est pas utile de mettre des deux nombres dans l’ordre. Cela se fait en quelque sorte « tout seul ».

4.5. PGCD et produits

Trouver le PGCD de a et b :

1. a=22×52×13 et b=23×32×5
2. a=32×52×11 et b=23×3×5
3. a=810 et b=1764

4.6. Nombres mystérieux et PGCD

a et b sont deux entiers. Trouver a et b sachant que ab=1734 et que le PGCD de a et de b est 17.

4.7. Application en boulangerie

Un boulanger fait des pizzas sur des plaques de 140×168 cm. Il désire découper sa pizza rectangulaire en morceaux carrés, les plus grands possibles, sans faire de perte.

Quelles seront les dimensions de ces carrés ?

5. Nombres premiers entre eux

5.1. Application directe

Les nombres suivants sont ils premiers entre eux ?

1. 42 et 65
2. 147 et 350
3. 442 et 693

5.2. Nombres mystérieux, somme valant 12

Trouver tous les couples d’entiers premiers entre eux dont la somme est 12.

5.3. Nombres mystérieux, premiers avec 18

Soit a = 18 et b un entier premier avec a tel que 20 ≤ b ≤ 30. Quelles sont les valeurs possibles de b ?

6. Algorithmique

6.1. Des Troyes et des Huns

Les nombres de la forme 3333...31 sont-ils tous premiers ?

6.2. Dates premières internationalement

Today [29 nov 2013] is a prime day. Whether you write the date in American (MMDDYY), European (DDMMYY), or ISO (YYYYMMDD) format, you get a prime. That is, 112913 and 291113 and 20131129 are all prime numbers.

Quelle est la prochaine date de ce type ?

Référence : http://www.johndcook.com/blog/2013/11/29/todays-a-prime-day/