tite fractale

Matrices

1. Notion de matrice

1.1. Sur un exemple

Ces données peuvent être représentées sous la forme d’un tableau :

Ingrédients pour 20 crêpes 1 gâteau
œufs 3 5
lait (en cl) 30 20
farine 300 400

Mathématiquement, on peut voir ces valeurs sous la forme d’une matrice. Il suffit d’enlever les titres.

$$ R = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\\\ 30 & 20 \\\\ 300 & 400 \end{pmatrix} $$

$R$ est une matrice « 3×2 » (se lit « trois deux » ou « trois par deux », mais pas « 6 »). C’est le type ou la taille de la matrice.

1.2. Définition

Une matrice à $n$ lignes et $p$ colonnes est un tableau de nombres (réels, complexes, booléens…). On dit qu’elle est de type ou de taille $n×p$.

Le terme général d’une matrice $A$ est souvent noté $\left(a_{ij}\right)_{ \begin{array}{c} 1 \le i \le n \\\\ 1 \le j \le p \end{array}}$ et dans ce cas, on a :

$$ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1p} \\\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2p} \\\\ \vdots & \vdots & & & \vdots & & \vdots \\\\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{ip} \\\\ \vdots & \vdots & & & \vdots & & \vdots \\\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{np} \end{pmatrix}$$

Remarques :

1.3. Égalité matricielle

Soit deux matrices $A$ et $B$. $A=B$ signifie :

2. Calcul matriciel

2.1. Somme de matrices

2.1.1. Sur l’exemple

Supposons que l’on veuille augmenter les quantités de nos recettes :

$$ R' = \begin{pmatrix} 3+1 & 5+1 \\\\ 30+5 & 20+15 \\\\ 300+100 & 400-100 \end{pmatrix} $$

On pourrait écrire $ R' = R + A $, avec

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\\\ 5 & 15 \\\\ 100 & -100 \end{pmatrix} $$

2.1.2. Définition

Si $A$ et $B$ sont deux matrices $n×p$, la matrice somme de $A$ et $B$ est notée $A+B$ et a pour terme général :

$$\left(a_{ij} + b_{ij}\right)_{ \begin{array}{c} 1 \le i \le n \\\\ 1 \le j \le p \end{array}}$$

2.1.3. Propriétés

2.2. Produit d’une matrice par un nombre

2.2.1. Sur l’exemple

On peut vouloir doubler la quantité de chaque ingrédient. Voire ajouter cinquante pourcents (en multipliant par 1,5), ou diviser les quantités par 10 (en multipliant par 0,1 ou $\frac{1}{10}$). Il suffit pour cela de multiplier tous les coefficients par le même nombre (2 pour doubler; 1,5 pour ajouter 50% ou 0,1 pour diviser par 10).

$ R' = \begin{pmatrix} 2×3 & 2×5 \\\\ 2×30 & 2×20 \\\\ 2×300 & 2×400 \end{pmatrix} $ $ R'' = \begin{pmatrix} 1,5×3 & 1,5×5 \\\\ 1,5×30 & 1,5×20 \\\\ 1,5×300 & 1,5×400 \end{pmatrix} $ $ R''' = \begin{pmatrix}\frac{1}{10}×3 &\frac{1}{10}×5 \\\\\frac{1}{10}×30 &\frac{1}{10}×20 \\\\\frac{1}{10}×300 &\frac{1}{10}×400 \end{pmatrix} $

On écrira $2×R$, $1,5×R$ ou $\frac{1}{10} R$.

2.2.2. Définition

Si $A$ est une matrice $n×p$ et $t$ un nombre, la matrice produit de $A$ par $t$ est notée $t×A$ ou $tA$ et a pour terme général :

$$\left(t × a_{ij}\right)_{ \begin{array}{c} 1 \le i \le n \\\\ 1 \le j \le p \end{array}}$$

C’est un produit dit externe.

2.2.3. Propriétés

Si deux matrices $A$ et $B$ sont de taille $n×p$, et $t_1$ et $t_2$ sont deux nombres, alors on a :

2.2.4. Remarques

2.3. Produit de deux matrices

2.3.1. Sur l’exemple

On doit faire les courses à la fois pour la maison et pour le goûter organisé la semaine prochaine.

Pour la maison Pour le lycée
40 crêpes (2×) 60 crêpes (3×)
1 gâteau 4 gâteaux

Calculons :

maison lycée
crêpes gâteaux total crêpes gâteaux total
œufs 3 ×2 5 ×1 11 3 ×3 5 ×4 29
lait 30 ×2 20 ×1 80 30 ×3 20 ×4 170
farine 300 ×2 400 ×1 1000 300 ×3 400 ×4 2500

On peut présenter le calcul ainsi : la première matrice en bas à gauche, et la deuxième en haut à droite.

produit matriciel en place

Et l’effectuer ainsi :

produit matriciel en place

On retrouve bien la quantité de lait pour le lycée : 30×3 + 20×4 = 130.

Vérifier qu’avec cette mise en place, on obtient bien les autres quantités.

2.3.2. Définition

Soit $A$ une matrice $n×p$ et $B$ une matrice $p×q$.

Le produit matriciel de $A$ par $B$ est noté $A×B$, ou plus simplement $AB$, et est la matrice $n×q$ de terme général $\left(c_{ij}\right)_{ \begin{array}{c} 1 \le i \le n \\\\ 1 \le j \le q \end{array}}$ avec :

$$\begin{aligned} c_{ij} &= a_{i1} b_{1j} + a_{i2} b_{2j} + \cdots + a_{ip} b_{pj} \\\\ &= \sum\limits_{k=1}^p a_{ik} b_{kj} \end{aligned}$$

2.3.3. Remarques

2.3.4. Propriétés

Avec un nombre t et trois matrices A, B et C, de tailles compatibles pour les produits :

2.3.5. Matrice(s) unité

2.3.5.1. Recherche

Si $0_{n×p}$ est l’élément neutre pour l’addition. Cherchons l’élément neutre pour la multiplication. On le notera $I_{n×p}$, ou, s’il n’y a pas ambiguïté, simplement $I$.

Exercice :

2.3.5.2. Définition

On appelle matrice unité de taille $n$ la matrice carré de taille $n$ qui a des 1 sur sa diagonale principale et des 0 ailleurs.

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\\\ 0 & 1 & \ddots & \vdots \\\\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\\\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

2.3.5.3. Propriétés et remarques

  1. La matrice unité commute avec toutes les matrices compatibles. En effet, $AI = IA = A$.
  2. Le symbole de Kronecker est un outil idéal pour manipuler ces matrices.
  3. En effectuant à la main un produit, on observe qu’elle a en quelque sorte un rôle de copiste. Les 0 et les 1 de $I$ laissent ou non passer les coefficients de $A$, comme des booléens (idée de masques).

2.3.6. Puissances d’une matrice

2.3.6.1. Principe

Pour que le calcul $A^2$, c’est-à-dire $A×A$, ait un sens, il faut que $A$ soit…

…carrée.

De plus, comme $A^2$ et $A$ sont de même taille, on peut à nouveau les multiplier entre elles, pour obtenir $A^3$. Et ainsi de suite…

2.3.6.2. Définitions

Pour une matrice $A$ carrée de taille $n$, on définit :

2.3.6.3. Remarques




Christophe Gragnic, inspiré des œuvres de J.Callard et N.François, le 09/10/2016, 15h56'00".






Page générée le 04/12/2016, 10h08'07" (source).
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