tite fractale

Congruences

1. Activité d’introduction

Le concept de congruence sert à « enrouler » les nombres relatifs, que l’on peut voir comme des points sur une droite, autour d’un cercle comportant $n$ points.

Deux nombres seront congrus modulo $n$ si, au bout d’un certain nombre de tours, ils finissent par se retrouver au même endroit sur le cercle.

Une question essentielle : les multiples d’un certain nombre $k$ finiront-ils par couvrir tous les points du cercle ?

En pratique :

On prend un médicament toutes les 5 heures. On commence à midi.

  1. Donner la liste des prochains horaires auxquels il faut prendre le médicament.
  2. Finira-t-on par prendre le médicament à toutes les heures du jour et de la nuit ?
  3. Mêmes questions si on prend le médicament toutes les 3 heures.

Voir les exercices de travaux pratiques.

2. La théorie

2.1. Définition

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 2 et $a$ et $b$ deux entiers relatifs.

On dit que $a$ et $b$ sont congrus modulo $n$ si $a$ et $b$ ont le même reste dans la division euclidienne par $n$. On note :

$$a \equiv b [n]$$

ou parfois

$$a \equiv b ~ (\text{mod} ~n)$$

La définition est équivalente à l’une de ces phrases :

2.2. Remarques

2.3. Exemples

Représenter une horloge avec 5 heures.

pair, impair, un multiple de $p$.

2.4. Exercices classiques

Pour 12 et 166, il suffit de calculer les restes, ou mieux, de diviser leur différence par 7.
Pour 183, il faut prendre son reste dans la division euclidienne par 6.

2.5. Propriétés

Les propriétés sont données modulo $n$.

2.5.1. Symétrie

Si $a \equiv b$, alors $b \equiv a$.

2.5.2. Transitivité

Si $a \equiv b$ et $b \equiv c$, alors $a \equiv c$.

2.5.3. Règles de réduction, ou de compatibilité

Si $a$, $a'$, $b$ et $b'$ sont des entiers tels que $a \equiv a'$ et $b \equiv b'$, alors on a :

2.5.4. Finalement

La congruence peut être considéré comme une sorte d’égalité, mais plus faible que celle que l’on connaît bien.

Voir les exercices de travaux dirigés (non numérisés).

Voir les exercices de travaux pratiques.




Christophe Gragnic, avec l’aimable et indéfectible aide de J.Calard, le 23/11/2016, 10h50'00".






Page générée le 04/12/2016, 10h08'07" (source).
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