tite fractale

Théorie des ensembles et relations, exercices

Dans ces exercices, on définit des relations $\mathcal R$ sur un ensemble $E$.

1. Relation donnée par son graphe

On note $E = \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$ et $\Gamma = \left\{ (1;1); (1;2); (2;1); (2;2); (3;3); (3;4); (4;3); (4;4)\right\}$.

2. Autres relations

Pour chaque relation $\mathcal R$ :

2.1. Sans couples

  1. $E = \mathbb Z$ Soit $n$ un entier naturel non nul. $a \mathcal R b \Leftrightarrow a \equiv b \left[ n \right]$
  2. $E = \mathbb N ^*$ $m \mathcal R n \Leftrightarrow n ~\text{est un multiple de}~m$
    Bonus : l’ensemble $\left\{ 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \right\}$ possède-t-il un plus petit élément au sens de $\mathcal R$ ?
  3. $E = \mathbb R$ $x \mathcal R y \Leftrightarrow x^2 - y^2 = x - y$
  4. Soit $F$ un ensemble. On se fixe un ensemble $A$ dans $F$. $E = \mathcal P \left(F\right)$ c’est-à-dire les sous-ensembles de $F$. $X \mathcal R Y \Leftrightarrow A \cap X = A \cap Y$
    Pour y voir clair, on peut prendre un exemple comme :
    $F = \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$ et $A = \left\{ 1, 2 \right\}$.

2.2. Les éléments sont des couples

  1. $E = \mathbb R ^2$ $(a,b) \mathcal R (c,d) \Leftrightarrow a^2+b^2=c^2+d^2$
  2. $E = \mathbb R ^2$ $(x,y) \mathcal R (x',y') \Leftrightarrow x \le x' \wedge y \le y'$
  3. $E = \mathbb R ^2$ $(x,y) \mathcal R (x',y') \Leftrightarrow x < x' \vee y \le y'$



Christophe Gragnic, avec quelques inspirations sur licence-math.univ-lyon1.fr, le 15/12/2015, 12h42'54".






Page générée le 04/12/2016, 10h08'07" (source).
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