tite fractale

Théorie des ensembles et relations, exercices

Dans ces exercices, on définit des relations $\mathcal R$ sur un ensemble $E$.

1. Relation donnée par son graphe

On note $E = \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$ et $\Gamma = \left\{ (1;1); (1;2); (2;1); (2;2); (3;3); (3;4); (4;3); (4;4)\right\}$.

2. Autres relations

Pour chaque relation $\mathcal R$ :

2.1. Sans couples

  1. $E = \mathbb Z$ Soit $n$ un entier naturel non nul. $a \mathcal R b \Leftrightarrow a \equiv b \left[ n \right]$
  2. $E = \mathbb N ^*$ $m \mathcal R n \Leftrightarrow n ~\text{est un multiple de}~m$
    Bonus : l’ensemble $\left\{ 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \right\}$ possède-t-il un plus petit élément au sens de $\mathcal R$ ?
  3. $E = \mathbb R$ $x \mathcal R y \Leftrightarrow x^2 - y^2 = x - y$
  4. Soit $F$ un ensemble. On se fixe un ensemble $A$ dans $F$. $E = \mathcal P \left(F\right)$ c’est-à-dire les sous-ensembles de $F$. $X \mathcal R Y \Leftrightarrow A \cap X = A \cap Y$
    Pour y voir clair, on peut prendre un exemple comme :
    $F = \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$ et $A = \left\{ 1, 2 \right\}$.

2.2. Les éléments sont des couples

  1. $E = \mathbb R ^2$ $(a,b) \mathcal R (c,d) \Leftrightarrow a^2+b^2=c^2+d^2$
  2. $E = \mathbb R ^2$ $(x,y) \mathcal R (x',y') \Leftrightarrow x \le x' \wedge y \le y'$
  3. $E = \mathbb R ^2$ $(x,y) \mathcal R (x',y') \Leftrightarrow x < x' \vee y \le y'$

3. Applications

3.1. Injectivité et surjectivité

Deux groupes d’extra-terrestres, un de sexe - et un de sexe + se font face.

Soit l’application $f$ : « essaie de s’accoupler avec ».
C’est une application, donc tout extra-terrestre de sexe - essaie de s’accoupler avec exactement un extra-terrestre de sexe +.

  1. Comment traduire « $f$ est injective », « $f$ est surjective » et « $f$ est bijective » ?
  2. Est-ce que $f$ peut être injective dans les cas suivants : a. il y a 6 - et 5 + b. il y a 5 - et 6 + c. il y a 5 - et 5 +
  3. Idem avec la question « f peut-elle être surjective ».
  4. Idem avec la question « f peut-elle être injective ».



Christophe Gragnic, avec quelques inspirations sur licence-math.univ-lyon1.fr, le 22/03/2017, 10h09'30".






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