$tite fractale$

Suites (2/2)

1. Raisonnement par récurrence

1.1. Propositions dépendant d’un entier

1.1.1. Vocabulaire

Une proposition est une phrase qui possède, sans ambiguïté, une valeur de vérité.
Certaines dépendent de la valeur d’un entier $n$. Une fois l’entier donné, elles deviennent une proposition comme les autres.

1.1.2. Exemples

« $0=1$ » est fausse ;
« $0=0$ » est vraie ;
« $n$ est pair » est ni toujours vraie, ni toujours fausse, ça dépend de $n$ ;
« $n = n+1$ » est toujours fausse, quelque soit la valeur de $n$ ;
« la somme des $n$ premiers nombres impairs vaut $n^2$ » (?) ;
Attention, «Pour tout $n$ entier naturel, la somme des $n$ premiers nombres impairs vaut $n^2$ » ne dépend plus de $n$. La variable $n$ est dite muette, c’est-à-dire qu’elle pourrait être remplacée par $m$ ou $p$ ou $x$, ça ne changerait rien au sens de la phrase.

C’est déjà le moment de faire quelques exercices.

1.2. Principe du raisonnement par récurrence

1.2.1. Énoncé du principe

On considère une proposition dépendante de $n$, notée $P_n$. On peut démontrer qu’elle est vraie pour tout $n$ tel que $n \ge n_0$ en procédant comme suit :

Notation

Cette étape n’est pas une étape classique, mais est recommandée par votre professeur. Elle consiste à expliciter $P_n$, afin d’avoir une bonne base au niveau des notations. Pour cela, il suffit souvent de rappeler l’énoncé, sans le « Pour tout $n$ ».
Initialisation

On vérifie que la première proposition $P_{n_0}$ est vraie, « à la main ». C’est souvent trivial.
Hérédité

On démontre que, pour un $m$ fixé, si la proposition est vrai au rang $m$ pour $m \ge n_0$ (c’est « l’hypothèse de récurrence »), alors celle au rang suivant $m+1$ est vraie aussi. En résumé, si $P_m$ est vraie alors $ P_{m+1}$ est vraie.
Conclusion

La proposition est vraie pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $n_0$.

ditaa diagram

Avec un autre schéma avec la flèche recopiée à partir de $n_0$.

1.2.2. Remarques

Beaucoup d’analogies sont faisables pour comprendre le principe :
- cascade de dominos (il faut qu’un des dominos tombe, et que chacun fasse tomber le prochain),
- course de relais,
- « hola » dans un stade,
- …
Aussi appelé « induction complète » ou simplement « induction », c’est un axiome. Certains mathématiciens refusent de l’utiliser (finitistes et ultrafinitistes), mais cela dépasse le cadre de la terminale, il ne faudra pas refuser de l’utiliser bien sûr.
Notez le changement de notation pour l’indice à l’étape Hérédité. On pourrait aussi écrire :
« Supposons que la propriété est vraie pour $n=p$, montrons qu’elle est vraie pour $n=p+1$. ».
Quelques liens pour approfondir la notion d’entiers naturels :
- leur construction,
- Pourquoi 1+1=2 ?,
- …

1.2.3. Exemple

Soit $S = (u_n)_{n \in \mathbb N}$ une suite arithmétique de raison $r$. On a pour $n \in \mathbb N$, $u_{n+1} = u_n + r$.

Montrons par récurrence que pour tout $n \in \mathbb N$, $u_n = u_0 + nr$. Cela revient à trouver la forme explicite à partir de la définition par récurrence.

La première chose à faire est fondamentale et délicate : définir $P_n$. Cela permet de bien se faire comprendre du lecteur, mais aussi de clarifier la situation pour soi-même !

Soit $P_n$ la proposition « $u_n = u_0 + nr$ ».

Initialisation

Vérifions que $P_0$ est vrai. Comme dit plus haut, c’est souvent tellement trivial qu’on hésite. Ici, en démontrant l’égalité de la droite vers la gauche : $$u_0 + 0 × r = u_0$$

Remarque : On peut aussi préférer écrire :

D’une part, pour $n=0$, $u_n = u_0$.
D’autre part, pour $n=0$, $u_0 + nr = u_0 + 0×r = u_0$.

$P_0$ est donc vraie.
Hérédité

Supposons que $P_m$ soit vraie pour un entier $m \ge 0$. Montrons que $P_{m+1}$ est vraie.

Il peut être précieux d’écrire $P_{m+1}$ pour avoir le but à atteindre sous les yeux. Pour être sûre de bien l’écrire, mettre tous les $m$ entre parenthèses puis y ajouter $+1$.

\begin{aligned}
u_{m+1} &= u_m + r &(1) \\
&= u_0 + mr + r &(2) \\
&= u_0 + (m+1) r &(3)
\end{aligned}
1. par définition d’une suite arithmétique
2. par hypothèse de récurrence
3. factorisation
Donc $P_{m+1}$ est vraie.
Conclusion

Par récurrence, $P_n$ est vraie pour tout $n \in \mathbb N$.

On pourra retenir qu'il y a en quelque sorte quatre étapes.

1.2.4. Utilisation

Il faut penser à utiliser le raisonnement par récurrence lorsque :

on définit quelque chose par récurrence et on veut montrer une propriété explicite, par exemple pour la définition d’une suite (voir le premier exemple),
une égalité est vraie et on veut une égalité plus générale (souvent dépendant d’un entier) que l’on peut obtenir en utilisant plusieurs fois la première,
- $\left( a×b \right)^2 = a^2 × b^2$ donne $\left( a×b \right)^n = a^n × b^n$,
- $\frac{1}{a} × \frac{1}{b} = \frac{1}{a×b}$ donne $\left( \frac{1}{p} \right)^n = \frac{1}{p^n} $,
- $\left| a×b \right| = \left| a \right| × \left| b \right|$ donne $\left| q^n \right| = \left| q \right|^n$,
on a envie d’écrire « etc… »,
etc…

C’est peut-être le moment de faire les premiers exercices.

2. Suite géométrique de référence

2.1. Notation et rappel

Soit $q$ un nombre réel. Dans cette partie, on note $(u)$ la suite géométrique de raison $q$ et de premier terme 1 :

$$ \left \{ \begin{aligned} u_0 &= 1 \\\\ u_{n+1} &= qu_n ~\text{pour}~ n \in \mathbb N \end{aligned} \right. $$

On sait démontrer par récurrence que : Pour tout entier naturel $n$, $u_n = q^n$.

2.2. Variations

En notant $D_n = u_{n+1} - u_n = q^{n+1} - q^n = q^n × (q-1)$

   q   |   q<0  | q=0 | 0<q<1 (q-1<0) | q=1 | q>1 (q-1>0)
---------------------------------------------------------
  sg q |   neg  |  0  |    positif    |  1  |   positif
sg q^n | change |  0  |    positif    |  1  |   positif
sg q-1 |   neg  | -1  |    négatif    |  0  |   positif
---------------------------------------------------------
sg  D  | change |  0  |    négatif    |  0  |   positif

2.3. Limite

2.3.1. Propriétés

a) Si $q > 1$, $\lim\limits_{n \to + \infty} q^n = +\infty$.
b) Si $-1 < q < 1$, $\lim\limits_{n \to + \infty} q^n = 0$.
c) Si $q = 1$, $\lim\limits_{n \to + \infty} q^n = 1$.
d) Si $q \le -1$, la suite $\left(q^n\right)_{n \in \mathbb N}$ n'a pas de limite.

2.3.2. Démonstrations

a) Pour le cas $q >1$ :

On pose $a = q-1$. Comme $q > 1$, $a = q - 1 > 0$.
Nous avons besoin de l'inégalité de Bernouilli, que nous allons démontrer par récurrence. On note pour $n \in \mathbb N$ :

$$P_n : \left( 1 + a \right)^n \ge 1 + na$$

Initialisation :
$\left( 1 + a \right)^0 = 1 \ge 1 = 1 + 0×a$ donc $P_0$ est vraie.

Hérédité :
Supposons que $P_m$ soit vraie pour un certain entier naturel $m$.

$$ \begin{aligned} (1 + a)^{m+1} &= (1 + a)^m (1 + a) &(1) \\\\ &\ge (1 + ma) (1 + a) &(2) \\\\ &\ge 1 + a + ma + ma^2 &(3) \\\\ &\ge 1 + (m+1)a + ma^2 &(4) \\\\ &\ge 1 + (m+1)a &(5) \end{aligned} $$

Propriété de la notation puissance.
Hypothèse de récurrence $P_m$.
On développe.
On factorise intelligement.
$ma^2 \ge 0$ car $m$ et $a^2$ le sont.

Pour clarifier cette suite d’inégalités, il peut être intéressant de l’écrire sur une seule ligne, en différenciant bien les inégalités des égalités.

Ainsi, $P_{m+1}$ est vraie.

Conclusion :
$P_n$ est vraie pour tout $n \in \mathbb N$.

Or, comme $a>0$, $\lim\limits_{n \to + \infty} (1+na) = +\infty$. Il suffit de conclure en invoquant le théorème dit « des sumos ».

b) Pour le cas $-1 < q < 1$ :

i) Premier sous-cas : $q=0$.

La suite est stationnaire à partir du rang 1 : pour tout entier $n \ge 1$, $u_n = 0$. On a donc bien $\lim\limits_{n \to + \infty} q^n = 0$.

ii) Deuxième sous-cas : $q \ne 0$.

On pose $p = \frac{1}{\left| q \right|}$.

On a $-\frac{1}{p^n} = -\left| q^n \right| \le q^n \le \left| q \right|^n = \frac{1}{p^n}$.

Il suffit donc de montrer que $\lim\limits_{n \to + \infty} p^n = +\infty$ et on conclut en composant avec la fonction inverse et le théorème des gendarmes.

Pour la limite, puisque $0 < \left| q \right| < 1$ et puisque la fonction inverse est décroissante sur $\mathbb R_+^*$ :

$$p = \frac{1}{\left| q \right|} > 1$$

Donc d'après le cas précédent, $\lim\limits_{n \to + \infty} p^n = +\infty$.

Pour la conclusion, comme $\lim\limits_{x \to + \infty} \frac{1}{x} = 0$, on a par composition : $$\lim\limits_{n \to + \infty} \left|q^n\right| = \lim\limits_{n \to + \infty} \frac{1}{p^n} = 0$$ ce qui implique, par le théorème des gendarmes : $$\lim\limits_{n \to + \infty} q^n = 0$$

c) Pour le cas $q=1$ :

La suite étant constante (chaque terme vaut 1), on a bien $\lim\limits_{n \to + \infty} q^n = 1$.

d) Pour le cas $q \le -1$ :

On pose $p=-q$. On a pour tout indice $n$ :

$$ \begin{aligned} q^n &= \left( -p \right)^n &(1) \\\\ &= \left( \left(-1\right) × \left(p\right) \right)^n &(2) \\\\ &= \left( -1 \right)^n × \left( p \right)^n &(3) \end{aligned} $$

Les termes d'indice pair valent $p^n$ et sont donc supérieurs ou égaux à 1. Les termes d'indice impair valent $-p^n$ et sont donc inférieurs ou égaux à -1.

Il ne peut y avoir de limite.

2.4. Somme des termes

On rappelle que $u$ est la suite géométrique de référence, de premier terme $1$ et de raison $q$. On a donc pour tout entier naturel $n$ : $u_n = q^n$.

On note pour tout entier naturel $n$ :

$$S_n = 1 + q + q^2 + ... + q^n$$

On aura reconnu $u_0$, $u_1$, $u_2$…

2.4.1. Première méthode

Calculer $(1-q)(1+q+q^2+...+q^n)$.

Comment obtenir $S_n$ à partir du résultat ?

2.4.2. Deuxième méthode

Démontrer le résultat précédent par récurrence (ne faire que le cas $q \ne 1$).

2.4.3. Pour la culture

Voici une méthode étonnante qui mêle limites et sommes des termes d’une suite géométrique pour résoudre la simple équation $x=ax+b$ : voir l’article.

3. Cas général

3.1. Variations

$u_{n+1} - u_n = u_0×q^{n+1} - u_0×q = u_0 × q^n × (q-1)$

Tableau récapitulatif

signes |   q<0  | q=0 | 0<q<1 (q-1<0) | q=1 | q>1 (q-1>0)
  u0<0 | change |  0  |    négatif    |  0  |   positif
  u0=0 |    0   |  0  |       0       |  0  |     0
  u0>0 | change |  0  |    positif    |  0  |   négatif

3.2. Limites

3.2.1. Premier terme nul

Ce cas est trivial car la suite est constante : pour tout entier naturel $n$, $u_n = 0$.

3.2.2. Premier terme strictement positif

Mêmes limites et variations que la suite géométrique de référence.

3.2.3. Premier terme strictement négatif

Mêmes limites que la suite géométrique de référence, à part dans le cas où $q>1$ où la suite tend vers $- \infty$.

3.3. Somme des termes

Ici on note pour tout entier naturel $m$ et tout entier naturel $n$ :

$$S_{m,n} = u_m + u_{m+1} + u_{m+2} + ... + u_{n-1} + u_n$$

On suppose $m$, $n$, $q$ et $u_m$ connus.

3.3.1. Premier cas

Si $q=1$, calculer $S_{m,n}$.

3.3.2. Second cas

Si $q \ne 1$, calculer $S_{m,n}$ en mettant en facteur $u_m$ et en utilisant la somme des termes de la suite géométrique de référence.

Remarquer que $u_m$ est le premier terme de la somme et $n-m+1$ est le nombre de termes de la somme.

4. En résumé

4.1. Principe du raisonnement par récurrence

Notation
Initialisation
Hérédité
Conclusion

4.2. Suite géométrique de référence

4.2.1. Variations

En notant $D_n = u_{n+1} - u_n = q^{n+1} - q^n = q^n × (q-1)$

   q   |   q<0  | q=0 | 0<q<1 (q-1<0) | q=1 | q>1 (q-1>0)
---------------------------------------------------------
sg  D  | change |  0  |    négatif    |  0  |   positif

4.2.2. Limite

4.2.3. Somme des termes

Si $q=1$, $S_n = n+1$.

Si $q \ne 1$, $S_n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} = \frac{q^{n+1}-1}{q-1}$.

4.3. Suite géométrique

4.3.1. Variations

En notant $D_n = u_{n+1} - u_n = u_0×q^{n+1} - u_0×q^n = u_0 × q^n × (q-1)$

 sg D  |   q<0  | q=0 | 0<q<1 (q-1<0) | q=1 | q>1 (q-1>0)
---------------------------------------------------------
u0 < 0 | change |  0  |    positif    |  0  |   négatif
u0 = 0 |    0   |  0  |       0       |  0  |      0
u0 > 0 | change |  0  |    négatif    |  0  |   positif

4.3.2. Limite

Il suffit de multiplier par $u_0$.

4.3.3. Somme des termes

Si $q=1$, $S_{m,n} = u_m × (n - m + 1)$.

Si $q \ne 1$, $S_{m,n} = u_m \frac{1-q^{n-m+1}}{1-q} = u_m \frac{q^{n-m+1}-1}{q-1}$.

Où $u_m$ est le premier terme de la somme et $n-m+1$ est le nombre de termes de la somme.

Christophe Gragnic, le 21/02/2016, 16h10'20".

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