Nombres complexes
1. Préliminaires
On travaille sur $ \mathbb Z ^2 $, l’ensemble des couples d'entiers relatifs.
$$ \mathbb Z ^2 = \left\{ (a,b), a \in \mathbb Z, b \in \mathbb Z \right\} $$
Exemples :
- (-2;3), (5,-4)…
- (0;0), (1;0), (0;1),
- (17345; -220)…
On peut définir deux opérations sur cet ensemble. On pose, pour tous entiers relatifs $a$, $b$, $a'$ et $b'$,
$$\begin{aligned} (a;b) \heartsuit (a';b') &= (aa';bb') \\\\ &= (a×a';b×b') \\\\ (a;b) \diamondsuit (a';b') &= (ab' + a'b;bb') \\\\ &= (a×b' + a'×b;b×b') \\\\ \end{aligned}$$
Sur un exemple :
$$\begin{aligned} (-2;3) \heartsuit (5;-4) &= (-2×5;3×(-4)) = (-10;-12) \\\\ (-2;3) \diamondsuit (5;-4) &= ((-2)×(-4) + 5×3;(3×(-4) = (23;-12) \\\\ \end{aligned}$$
On remarque que pour tout $a \in \mathbb Z$, $a \in \mathbb Z$ et tout $a' \in \mathbb Z$,
$$\begin{aligned} (a,b) \heartsuit (0,1) &= (?,?) \\\\ (a,b) \heartsuit (1,1) &= (?,?) \\\\ (a,b) \diamondsuit (0,1) &= (?,?) \\\\ (a,b) \diamondsuit (1,1) &= (?,?) \\\\ (a,b) \diamondsuit (a',1) &= (?,?) \\\\ \end{aligned}$$
C'est ainsi que l'on peut en toute rigueur construire l'ensemble des nombres rationnels, qui est une extension des entiers relatifs. Il faut toutefois ajouter :
- que le deuxième élément du couple ne peut être nul,
- que deux couples $(a;b)$ et $(a';b')$ sont considérés équivalents (ou égaux) si et seulement si $ab'=a'b$.
Les Égyptiens et les Grecs connaissaient, chacuns à leur façon, les fractions. Pour ces derniers, tout n’était que géométrie et rapports (donc fractions). Ils ont du faire face à une révolution conceptuelle lorsqu'ils ont trouvé un nombre paradoxal : la longueur de la diagonale d'un carré de côté 1. En effet, ce nombre :
- a un sens géométrique,
- mais n'est pas un nombre au sens des proportions (pas représentable par une fraction).
Il a fallu attendre 2200 ans pour définir rigoureusement les nombres réels, qui « contiennent » les nombres rationnels et pour lesquels on peut définir des opérations compatibles avec celles des rationnels.
Les nouveaux nombres sont par exemple $\sqrt 2$, $\pi$, $e$, mais on peut même montrer que les nombres irrationnels sont beaucoup plus « nombreux » que les nombres rationnels.
De même que nous venons de construire les rationnels à partir des entiers relatifs, et que l’on peut construire les réels à partir des rationnels (mais cependant avec un procédé différent), il est possible de construire un ensemble de nombres :
- contenant les nombres réels,
- pour lequel on peut définir des opérations compatibles avec celles des nombres réels,
- contenant certains nombres dont le carré est strictement négatif.
C'est le principe des nombres complexes en tant que clôture algébrique des réels.
$$ \mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb D \subset \mathbb Q \subset \mathbb R \subset \mathbb C \subset \mathbb H \subset \mathbb O $$
2. Définitions
2.1. Nombres complexes
2.1.1. Définition
On note $\mathbb C$ l'ensemble des couples $(a;b)$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels. Ces couples sont les nombres complexes, même si nous verrons une écriture plus pratique plus loin.
Pour l'instant, nous dirons que $a$ et $b$ sont les composantes, ou les coordonnées de $(a;b)$.
2.1.2. Exemples
À vous de jouer ! Ne revéler les exemples ci-dessous que si vous n'avez vraiment plus aucune idée.
On remarque que contrairement au préliminaire, $a$ et $b$ peuvent être des fractions, entre autres.
2.1.3. Égalité
On dira que deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs deux composantes sont égales. Ainsi : $$(a;b)=(a';b') \Leftrightarrow a=a'~\text{et}~b=b'$$
2.2. Opérations
2.2.1. Définitions
$\mathbb C$ peut être muni de deux opérations $+_C$ et $×_C$, que l'on définit pour tous complexes $(a,b)$ et $(a',b')$ par :
$$\begin{aligned} (a;b) +_C (a';b') &= (a+a'; b+b') \\\\ (a;b) ×_C (a';b') &= (a×a' - b×b'; a×b' + a'×b) \\\\ &= (aa' - bb'; ab' + a'b) \\\\ \end{aligned}$$
2.2.2. Exemples
$$\begin{aligned} (1;2) +_C (3;-5) &= … \\\\ (a;b) +_C (0;0) &= … &1) \\\\ (a;b) +_C (-a;-b) &= … &2) \\\\ (1;2) ×_C (3;-5) &= … \\\\ (a;b) ×_C (0;0) &= … &3) \\\\ (a;b) ×_C (1;0) &= … &4) \\\\ (a;b) ×_C (x;0) &= … &5) \\\\ (a;b) ×_C (\frac{1}{x};0) &= … &6) \\\\ (0;1) ×_C (b;0) &= … &7) \\\\ (a;b) ×_C (a;-b) &= … &8) \\\\ (0;1) ×_C (0;1) &= … &9) \\\\ \end{aligned}$$
$(13;1)$, $(0;0)$, $(a;b)$, $(xa;xb)$, $(\frac{a}{x};\frac{b}{x})$, $(0;b)$, $(a^2+b^2;0)$, $(-1;0)$
On peut montrer que ces opérations sont commutatives et associatives, et que $×_C$ est distributive par rapport à $+_C$.
2.2.3. Opérations restantes
2.2.3.1. Soustraction
On a vu que (devinez qui !) était neutre pour $+_C$ et que $(-a;-b)$ était l’opposé de $(a,b)$. La soustraction se définit comme l’addition de l’opposé :
$$\begin{aligned} (a;b) -_C (a';b') &= (a;b) +_C (-a';-b') \\\\ &= (a - a';b - b') \\\\ \end{aligned}$$
2.2.3.2. Division
Pour la division, c’est plus complexe car il va falloir trouver l’inverse d’un nombre complexe. L’élément neutre de $×_C$ étant (devinez !), on cherche $(a', b')$ .
On aboutit à un système difficile à résoudre. La symétrie de la deuxième ligne invite à tenter $b'=b$ et $a'=a$ avec un signe $-$ sur l’un des deux, disons (vu la première ligne) sur $b'$. Réintroduites dans la première ligne, ces valeurs donnent $a^2+b^2$ plutôt que 1. On peut donc diviser les valeurs de notre tentative par cette valeur, dans le cas où elle n’est pas nulle.
2.3. Nouvelle notation
2.3.1. Extension des réels
Les opérations $+_C$ et $×_C$ étendent celles de $\mathbb R$. En effet, on les retrouvent dans leur forme originelle si on annule le deuxième élément des couples :
$$\begin{aligned} (a;0) +_C (a';0) &= (a+a';0) \\\\ (a;0) ×_C (a';0) &= (a×a';0) \\\\ \end{aligned}$$
Idem avec l’opposé, la soustraction, l’inverse et la division. Vérifiez-le !
Tout se passe comme si le premier élément des couples fonctionnait comme un réel. Ainsi, $\mathbb R$ est inclus dans $\mathbb C$.
2.3.2. i
Désormais :
- $+_C$ et $×_C$ seront notées simplement $+$ et $×$,
- les complexes de la forme $(a;0)$ seront notés simplement $a$,
- le complexe $(0;1)$ sera noté simplement $i$,
- le carré de $i$ vaut…
- l’opposé de $i$ est…
- l’inverse de $i$ est…
Pour l’opposé et l’inverse de $i$, on cherche $z$ tel que, respectivement, $i+z=0$ et $i×z=1$.La première consiste à travailler algébriquement avec $z$ (pour l’opposé, on a directement $z = -i$, et pour l’inverse, on a $z = \frac{1}{i}$, qui reste à remettre sous forme algébrique.
La deuxième consiste à travailler avec la forme algébrique.
La troisième, à faire des tentatives en étant maligne.-1; $-i$ et $-i$ (aussi).
- le complexe $(a;b)$ sera noté $a+b×i$ ou même $a+ib$, car
$(a;b) = (a;0) + (0;b) = (a;0) + (b;0)×(0;1)$. - un complexe inconnu sera généralement noté $z$, puis avec les notations
ci-dessus : $z = a + ib$.
On peut aussi rencontrer $z = x + iy$.
Cette dernière notation est appelée la forme algébrique de $z$.
2.3.3. Partie réelle et partie imaginaire
En notant $z = a + ib$, on suppose implicitement que $a$ et $b$ sont des nombres réels. On appelle :
- $a$ la partie réelle, notée $\mathcal {Re}(z)$,
- et $b$ la partie imaginaire, notée $\mathcal {Im}(z)$.
Exemples :
- $\mathcal {Re}(1+2i) = 1$,
- $\mathcal {Im}(1+2i) = 2$,
- $\mathcal {Re}(2i+1) = 1$,
- $\mathcal {Im}(2i+1) = 2$,
- $\mathcal {Re}(1) = 1$,
- $\mathcal {Im}(1) = 0$,
- $\mathcal {Re}(i) = 0$,
- $\mathcal {Im}(i) = 1$,
- la forme algébrique de $i$ est $i = 0 + 1i$, voire tout simplement $i$,
- …
Remarque importante :
- la partie réelle est réelle,
- la partie imaginaire est…
2.3.4. Réels et imaginaires purs
Les nombres :
- ayant leur partie imaginaire nulle,
- $z$ tels que $\mathcal {Im}(z) = 0$,
- dont la forme algébrique est $a$,
sont appelés des réels. L’ensemble des réels est bien sûr $\mathbb R$.
Les nombres :
- ayant leur partie réelle nulle,
- $z$ tels que $\mathcal {Re}(z) = 0$,
- dont la forme algébrique est de la forme $ib$,
sont appelés des imaginaires purs. L’ensemble des imaginaires purs est noté $i\mathbb R$.
2.3.5. Représentation géométrique ou graphique
On munit le plan d’un repère orthonormé direct.
| $\mathbb C$ | le plan |
|---|---|
| $z=a+ib$ | $M(z)$ (où avant on écrivait $M(a;b)$) |
| $a$ | abscisse de $M$ |
| $b$ | ordonnée de $M$ |
| affixe de $M$ | image de $z$ |
| $\mathbb R$ | axe des abscisses |
| $i \mathbb R$ | axe des ordonnées |
Ce tableau sera complété plus tard.
Attention, les ordonnées sont parfois notées $ib$ au lieu de simplement $b$.
2.3.6. Opérations avec la nouvelle notation
Les opérations de $\mathbb C$ données au tout début se retrouvent assez naturellement en faisant participer le nouveau symbole $i$ aux calculs comme on le ferait avec un $x$. Écrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants :
$$\begin{aligned} (a+ib) + (a'+ib') &= … \\\\ (a+ib) × (a'+ib') &= … \\\\ \end{aligned}$$
On peut reprendre les exemples du début de cette partie (calculer la somme et le produit de $1+2i$ avec $3-5i$), mais certains petits exemples sont plus intéressants que d'autres :
- $0 + i×0 = 0 + 0i = 0i = 0$. On notera simplement $0$.
- $i^2 = …$
- Autres puissances de $i$…
- $iz = i(a+ib) = …$
- Puissances de $(1+i)$,
- …
2.3.7. Égalité de nombres complexes
Rappel : On dit que deux complexes $z=a+ib$ et $z'=a'+ib'$ sont égaux quand $a=a'$ et $b=b'$ (voir plus haut). On note souvent ceci sous la forme d’un système :
$$\left \{ \begin{array}{l} a = a' \\\\ b = b' \end{array} \right.$$
Conclusion intéressante : en notant $z=a+ib$, $z=0$ si et seulement si $a=0$ et $b=0$.
2.3.8. Équations dont l'inconnue est un nombre complexe
Les nombres complexes se comportent comme les nombres réels concernant l'addition et la multiplication. Les équations du premier degré se résolvent donc de la même manière. Exemple :
Résoudre dans $\mathbb C$ l'équation $3z - i = z + 1$.
$$ \begin{aligned} & 3(a+ib) - i = a+ib + 1 \\\\ & 3a + 3ib - i = a+ib + i \\\\ & 3a - a - 1 + i \left( 3b - 1 - b\right) = 0 \\\\ & 2a - 1 + i \left( 2b - 1 \right) = 0 & \underbrace{2a - 1}_{\text{partie réelle} } + i \left( \underbrace{2b - 1}_{\text{partie imaginaire} } \right) = 0 \end{aligned} $$ D'où $2a - 1 = 0$ et $2b - 1 = 0$,
puis $a = \frac{1}{2}$ et $b = \frac{1}{2}$,
et finalement $S = \left\{ \frac{1}{2} + \frac{i}{2} \right\}$.
Nous verrons plus loin comment traiter les équations faisant apparaître un complexe et son conjugué ou les équations du second degré.
3. Conjugué d'un nombre complexe
3.1. Définition
Si $z$ est un nombre complexe et $a + ib$ sa forme algébrique, on appelle conjugué de $z$ le nombre complexe $a - ib$. On le note $\overline z$.
3.2. Exemples de calcul du conjugué
$ \overline{ 2 + 3i } = …$
$ \overline{ 2i + 3 } = …$
$ \overline{ i } = …$
$ \overline{ 5i } = …$
$ \overline{ -7i } = …$
$ \overline{ 17 } = …$
$ \overline{ -12 } = …$
$ \overline{ i^2 } = …$
$ \overline{ 0 } = …$
3.3. Équations avec le conjugué
Souvent la seule façon de résoudre une équation présentant $z$ et $\overline z$ est de passer z sous sa forme algébrique en posant $z=a+ib$.
Résoudre :
$ z + 2 \overline z = 3 - i $
$ (1+i) z - 3 \overline z = 7 + 2i $
$ \overline z = z $
$ \overline z = -z $
3.4. Propriétés du conjugué
Pour tous complexes $z$ et $z'$, on a :
- $ \overline z = z \Leftrightarrow z \in \mathbb R $
- $ \overline z = -z \Leftrightarrow z \in i \mathbb R $
- $ \frac{1}{2} \left( z + \overline z \right) = … $ et $ \frac{1}{2} \left( z - \overline z \right)= … $
- On a aussi les égalités suivantes :
- $\overline {\left( \overline z \right)} = z$ (la conjugaison est une involution)
- $\overline {z+z'} = \overline z + \overline {z'}$
- $\overline {z×z'} = \overline z × \overline {z'}$
- pour $n \in \mathbb N$, $\overline {z^n} = \left( \overline z \right)^n$
- $z \overline z \in \mathbb R$ et $z \overline z \ge 0$
- si $z \ne 0$, $\frac{1}{z} =
\frac{\overline z}{\left. z \overline z \right\} \in \mathbb R}$
(sert à réécrire un complexe sans imaginaire au dénominateur) - si $z \ne 0$, $\overline {\left( \frac{1}{z} \right)} = \frac{1}{\overline z}$
- si $z' \ne 0$, $\overline {\left( \frac{z}{z'} \right)} = \frac{\overline z}{\overline {z'}}$
- L’image du conjugué est le symétrique par rapport à l’axe des abscisses de l’image.
Il est intéressant de traduire chacune de ces égalités par une phrase en français.
- Un complexe est égal à son conjugué si et seulement si c'est un réel.
- Un complexe est égal à l'opposé de son conjugué si et seulement si c'est un imaginaire pur.
- La demie-somme d’un complexe avec son conjugué…
- On a :
- le conjugué du conjugué…
- …
Démonstrations laissées en exercice, avec indications :
- Résoudre l'équation en utilisant la forme algébrique.
- Résoudre l'équation en utilisant la forme algébrique.
- Mener le calcul avec la forme algébrique.
- Utiliser la forme algébrique, et éventuellement le raisonnement par
récurrence. Pour le quotient, mettre $\frac{1}{z}$ sous forme algébrique
en remarquant que $\frac{1}{a+ib} = \frac{a-ib}{(a+ib)(a-ib)}$ et en
utilisant le fait que $(a+ib)(a-ib) = z \overline z$ est réel.
Attention : pour ces démonstrations, on ne calcule le conjugué d’un nombre que si on a bien isolé la partie réelle de la partie imaginaire (ne pas utiliser la propriété que vous être en train de démontrer !).
3.5. Forme algébrique d’un quotient
Mettre sous forme algébrique les nombres suivants :
- $\frac{1}{i}$
- $\frac{3}{1+i}$
- $\frac{2-i}{3-2i}$
4. Équations du second degré
4.1. Préliminaires
Résoudre dans $\mathbb R$ les équations suivantes (en justifiant !) :
- $x^2 = 0$
- $x^2 = 1$
- $x^2 = 4$
- $x^2 = 2$
- $x^2 = -1$
- $x^2 = a$ où $a$ est un nombre réel.
Résoudre dans $\mathbb C$ les équations suivantes (en justifiant !) :
- $z^2 = 0$
- $z^2 = -1$
- $z^2 = -4$
- $z^2 = -2$
- $z^2 = a$ où $a$ est un nombre réel.
4.2. Théorème
Soit $a$, $b$ et $c$ des réels avec $a \ne 0$, et $\left( E \right)$ l’équation $az^2 + bz + c = 0$.
En notant $\Delta = b^2 - 4ac$, on a les cas suivants :
4.2.1. 1er cas
Si $\Delta \ge 0$, alors nous distinguons deux sous-cas :
- $\Delta > 0$
- $\Delta = 0$
4.2.1.1. 1er sous cas
Si $\Delta > 0$, alors $S = \left\{ \frac{-b - \sqrt \Delta}{2a} ; \frac{-b + \sqrt \Delta}{2a}\right\}$.
En notant $z_1$ et $z_2$ ces deux solutions, on a :
$$az^2 + bz + c = a \left( z - z_1 \right)\left( z - z_2 \right)$$
4.2.1.2. 2ème sous cas
Si $\Delta = 0$, alors $S = \left\{ \frac{-b}{2a} \right\}$.
En notant $z_0$ cette solution, on a :
$$az^2 + bz + c = a \left( z - z_0 \right)^2$$
4.2.2. 2ème cas
Si $\Delta < 0$, alors $S = \left\{ \frac{-b - i\sqrt {-\Delta}}{2a} ; \frac{-b + i\sqrt {-\Delta}}{2a}\right\}$.
En notant $z_1$ et $z_2$ ces deux solutions, on a encore :
$$az^2 + bz + c = a \left( z - z_1 \right)\left( z - z_2 \right)$$
De plus, les racines sont conjuguées, c’est-à-dire que l’on a :
$$\overline{z_1} = z_2~\left( \text{et bien sûr}~\overline{z_2} = z_1 \right)$$
4.3. Démonstration
En cours de rédaction.
4.4. Exemple
Résoudre dans $\mathbb C$ l’équation $z^2 + z + 1 = 0$.
Vérifier les solutions que donne le théorème.
4.5. Remarques
- Ce théorème est un prolongement de celui vu en première.
- Dans le cas où $\Delta$ est positif ou nul, les racines sont réelles.
- Si $b=0$ ou si $c=0$, une méthode plus simple est attendue.
- Conventions d’écriture :
- $2i$; $\frac{3}{2}i$
- $ib$; $i \sqrt {-\Delta}$
- Dans tous les cas, si les coefficients de l’équation sont réels, alors dès que $z$ est solution, alors $\overline z$ est aussi solution (éventuellement la même). Pourquoi ?