tite fractale

Nombres complexes

1. Préliminaires

On travaille sur $ \mathbb Z ^2 $, l’ensemble des couples d'entiers relatifs.

$$ \mathbb Z ^2 = \left\{ (a,b), a \in \mathbb Z, b \in \mathbb Z \right\} $$

Exemples :

On peut définir deux opérations sur cet ensemble. On pose, pour tous entiers relatifs $a$, $b$, $a'$ et $b'$,

$$\begin{aligned} (a;b) \heartsuit (a';b') &= (aa';bb') \\\\ &= (a×a';b×b') \\\\ (a;b) \diamondsuit (a';b') &= (ab' + a'b;bb') \\\\ &= (a×b' + a'×b;b×b') \\\\ \end{aligned}$$

Sur un exemple :

$$\begin{aligned} (-2;3) \heartsuit (5;-4) &= (-2×5;3×(-4)) = (-10;-12) \\\\ (-2;3) \diamondsuit (5;-4) &= ((-2)×(-4) + 5×3;(3×(-4) = (23;-12) \\\\ \end{aligned}$$

On remarque que pour tout $a \in \mathbb Z$, $a \in \mathbb Z$ et tout $a' \in \mathbb Z$,

$$\begin{aligned} (a,b) \heartsuit (0,1) &= (?,?) \\\\ (a,b) \heartsuit (1,1) &= (?,?) \\\\ (a,b) \diamondsuit (0,1) &= (?,?) \\\\ (a,b) \diamondsuit (1,1) &= (?,?) \\\\ (a,b) \diamondsuit (a',1) &= (?,?) \\\\ \end{aligned}$$

C'est ainsi que l'on peut en toute rigueur construire l'ensemble des nombres rationnels, qui est une extension des entiers relatifs. Il faut toutefois ajouter :

Les Égyptiens et les Grecs connaissaient, chacuns à leur façon, les fractions. Pour ces derniers, tout n’était que géométrie et rapports (donc fractions). Ils ont du faire face à une révolution conceptuelle lorsqu'ils ont trouvé un nombre paradoxal : la longueur de la diagonale d'un carré de côté 1. En effet, ce nombre :

Il a fallu attendre 2200 ans pour définir rigoureusement les nombres réels, qui « contiennent » les nombres rationnels et pour lesquels on peut définir des opérations compatibles avec celles des rationnels.

Les nouveaux nombres sont par exemple $\sqrt 2$, $\pi$, $e$, mais on peut même montrer que les nombres irrationnels sont beaucoup plus « nombreux » que les nombres rationnels.

De même que nous venons de construire les rationnels à partir des entiers relatifs, et que l’on peut construire les réels à partir des rationnels (mais cependant avec un procédé différent), il est possible de construire un ensemble de nombres :

C'est le principe des nombres complexes en tant que clôture algébrique des réels.

$$ \mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb D \subset \mathbb Q \subset \mathbb R \subset \mathbb C \subset \mathbb H \subset \mathbb O $$

2. Définitions

2.1. Nombres complexes

2.1.1. Définition

On note $\mathbb C$ l'ensemble des couples $(a;b)$$a$ et $b$ sont des nombres réels. Ces couples sont les nombres complexes, même si nous verrons une écriture plus pratique plus loin.

Pour l'instant, nous dirons que $a$ et $b$ sont les composantes, ou les coordonnées de $(a;b)$.

2.1.2. Exemples

À vous de jouer ! Ne revéler les exemples ci-dessous que si vous n'avez vraiment plus aucune idée.

$(0;0)$, $(1;2)$…
$(-5;\frac{2}{3})$, $(-e;\frac{\pi}{7})$, $(21334,127;\frac{\sqrt{e-1} + \pi}{2^{16}+1})$…
On remarque que contrairement au préliminaire, $a$ et $b$ peuvent être des fractions, entre autres.

2.1.3. Égalité

On dira que deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs deux composantes sont égales. Ainsi : $$(a;b)=(a';b') \Leftrightarrow a=a'~\text{et}~b=b'$$

2.2. Opérations

2.2.1. Définitions

$\mathbb C$ peut être muni de deux opérations  $+_C$ et $×_C$, que l'on définit pour tous complexes $(a,b)$ et $(a',b')$ par :

$$\begin{aligned} (a;b) +_C (a';b') &= (a+a'; b+b') \\\\ (a;b) ×_C (a';b') &= (a×a' - b×b'; a×b' + a'×b) \\\\ &= (aa' - bb'; ab' + a'b) \\\\ \end{aligned}$$

2.2.2. Exemples

$$\begin{aligned} (1;2) +_C (3;-5) &= … \\\\ (a;b) +_C (0;0) &= … &1) \\\\ (a;b) +_C (-a;-b) &= … &2) \\\\ (1;2) ×_C (3;-5) &= … \\\\ (a;b) ×_C (0;0) &= … &3) \\\\ (a;b) ×_C (1;0) &= … &4) \\\\ (a;b) ×_C (x;0) &= … &5) \\\\ (a;b) ×_C (\frac{1}{x};0) &= … &6) \\\\ (0;1) ×_C (b;0) &= … &7) \\\\ (a;b) ×_C (a;-b) &= … &8) \\\\ (0;1) ×_C (0;1) &= … &9) \\\\ \end{aligned}$$

$(4;-3)$, $(a;b)$, $(0;0)$
$(13;1)$, $(0;0)$, $(a;b)$, $(xa;xb)$, $(\frac{a}{x};\frac{b}{x})$, $(0;b)$, $(a^2+b^2;0)$, $(-1;0)$

On peut montrer que ces opérations sont commutatives et associatives, et que $×_C$ est distributive par rapport à $+_C$.

2.2.3. Opérations restantes

2.2.3.1. Soustraction

On a vu que (devinez qui !) était neutre pour $+_C$ et que $(-a;-b)$ était l’opposé de $(a,b)$. La soustraction se définit comme l’addition de l’opposé :

$$\begin{aligned} (a;b) -_C (a';b') &= (a;b) +_C (-a';-b') \\\\ &= (a - a';b - b') \\\\ \end{aligned}$$

$(0;0)$

2.2.3.2. Division

Pour la division, c’est plus complexe car il va falloir trouver l’inverse d’un nombre complexe. L’élément neutre de $×_C$ étant (devinez !), on cherche $(a', b')$ .

$(1;0)$
On cherche $(a',b')$ tel que $(a;b) ×_C (a';b') = (1;0)$.
On aboutit à un système difficile à résoudre. La symétrie de la deuxième ligne invite à tenter $b'=b$ et $a'=a$ avec un signe $-$ sur l’un des deux, disons (vu la première ligne) sur $b'$. Réintroduites dans la première ligne, ces valeurs donnent $a^2+b^2$ plutôt que 1. On peut donc diviser les valeurs de notre tentative par cette valeur, dans le cas où elle n’est pas nulle.
Il suffit de prendre $(\frac{a}{a^2+b^2};-\frac{b}{a^2+b^2})$.

2.3. Nouvelle notation

2.3.1. Extension des réels

Les opérations $+_C$ et $×_C$ étendent celles de $\mathbb R$. En effet, on les retrouvent dans leur forme originelle si on annule le deuxième élément des couples :

$$\begin{aligned} (a;0) +_C (a';0) &= (a+a';0) \\\\ (a;0) ×_C (a';0) &= (a×a';0) \\\\ \end{aligned}$$

Idem avec l’opposé, la soustraction, l’inverse et la division. Vérifiez-le !

Tout se passe comme si le premier élément des couples fonctionnait comme un réel. Ainsi, $\mathbb R$ est inclus dans $\mathbb C$.

2.3.2. i

Désormais :

Cette dernière notation est appelée la forme algébrique de $z$.

2.3.3. Partie réelle et partie imaginaire

En notant $z = a + ib$, on suppose implicitement que $a$ et $b$ sont des nombres réels. On appelle :

Exemples :

Remarque importante :

réelle !

2.3.4. Réels et imaginaires purs

Les nombres :

sont appelés des réels. L’ensemble des réels est bien sûr $\mathbb R$.

Les nombres :

sont appelés des imaginaires purs. L’ensemble des imaginaires purs est noté $i\mathbb R$.

2.3.5. Représentation géométrique ou graphique

On munit le plan d’un repère orthonormé direct.

$\mathbb C$ le plan
$z=a+ib$ $M(z)$ (où avant on écrivait $M(a;b)$)
$a$ abscisse de $M$
$b$ ordonnée de $M$
affixe de $M$ image de $z$
$\mathbb R$ axe des abscisses
$i \mathbb R$ axe des ordonnées

Layer 1 M(z)=M(a+ib) a ib 1 i IR iIR

Attention, les ordonnées sont parfois notées $ib$ au lieu de simplement $b$.

2.3.6. Opérations avec la nouvelle notation

Les opérations de $\mathbb C$ données au tout début se retrouvent assez naturellement en faisant participer le nouveau symbole $i$ aux calculs comme on le ferait avec un $x$. Écrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants :

$$\begin{aligned} (a+ib) + (a'+ib') &= … \\\\ (a+ib) × (a'+ib') &= … \\\\ \end{aligned}$$

On peut reprendre les exemples du début de cette partie (calculer la somme et le produit de $1+2i$ avec $3-5i$), mais certains petits exemples sont plus intéressants que d'autres :

2.3.7. Égalité de nombres complexes

Rappel : On dit que deux complexes $z=a+ib$ et $z'=a'+ib'$ sont égaux quand $a=a'$ et $b=b'$ (voir plus haut). On note souvent ceci sous la forme d’un système :

$$\left \{ \begin{array}{l} a = a' \\\\ b = b' \end{array} \right.$$

Conclusion intéressante : en notant $z=a+ib$, $z=0$ si et seulement si $a=0$ et $b=0$.

2.3.8. Équations dont l'inconnue est un nombre complexe

Les nombres complexes se comportent comme les nombres réels concernant l'addition et la multiplication. Les équations du premier degré se résolvent donc de la même manière. Exemple :

Résoudre dans $\mathbb C$ l'équation $3z - i = z + 1$.

$$ \begin{aligned} 3z - i &= z + 1 \\\\ 3z - z &= 1 + i \\\\ 2z &= 1 + i \\\\ z &= \frac{1}{2} + \frac{i}{2} \end{aligned} $$ D'où $S = \left\{ \frac{1}{2} + \frac{i}{2} \right\}$.
On pose $z=a+ib$ (forme algébrique).On obtient l’équation :
$$ \begin{aligned} & 3(a+ib) - i = a+ib + 1 \\\\ & 3a + 3ib - i = a+ib + i \\\\ & 3a - a - 1 + i \left( 3b - 1 - b\right) = 0 \\\\ & 2a - 1 + i \left( 2b - 1 \right) = 0 & \underbrace{2a - 1}_{\text{partie réelle} } + i \left( \underbrace{2b - 1}_{\text{partie imaginaire} } \right) = 0 \end{aligned} $$ D'où $2a - 1 = 0$ et $2b - 1 = 0$,
puis $a = \frac{1}{2}$ et $b = \frac{1}{2}$,
et finalement $S = \left\{ \frac{1}{2} + \frac{i}{2} \right\}$.

Nous verrons plus loin comment traiter les équations faisant apparaître un complexe et son conjugué ou les équations du second degré.

3. Conjugué d'un nombre complexe

3.1. Définition

Si $z$ est un nombre complexe et $a + ib$ sa forme algébrique, on appelle conjugué de $z$ le nombre complexe $a - ib$. On le note $\overline z$.

3.2. Exemples de calcul du conjugué

$ \overline{ 2 + 3i } = …$
$ \overline{ 2i + 3 } = …$
$ \overline{ i } = …$
$ \overline{ 5i } = …$
$ \overline{ -7i } = …$
$ \overline{ 17 } = …$
$ \overline{ -12 } = …$
$ \overline{ i^2 } = …$
$ \overline{ 0 } = …$

Le conjugué des complexes est à rapprocher de celui des racines, notion qui permet de se débarrasser des racines au dénominateur dans $\frac{1}{\sqrt 5 - \sqrt 3}$.

3.3. Équations avec le conjugué

Souvent la seule façon de résoudre une équation présentant $z$ et $\overline z$ est de passer z sous sa forme algébrique en posant $z=a+ib$.

Résoudre :

$ z + 2 \overline z = 3 - i $

$ (1+i) z - 3 \overline z = 7 + 2i $

$ \overline z = z $

$ \overline z = -z $

$S = \left\{ 1 + i \right\}$; $S = \left\{ -\frac{30}{7} + \frac{11}{7}i \right\}$; pour les autres, voir la partie suivante.

3.4. Propriétés du conjugué

Pour tous complexes $z$ et $z'$, on a :

  1. $ \overline z = z \Leftrightarrow z \in \mathbb R $
  2. $ \overline z = -z \Leftrightarrow z \in i \mathbb R $
  3. $ \frac{1}{2} \left( z + \overline z \right) = … $ et $ \frac{1}{2} \left( z - \overline z \right)= … $
  4. On a aussi les égalités suivantes :
    • $\overline {\left( \overline z \right)} = z$ (la conjugaison est une involution)
    • $\overline {z+z'} = \overline z + \overline {z'}$
    • $\overline {z×z'} = \overline z × \overline {z'}$
    • pour $n \in \mathbb N$, $\overline {z^n} = \left( \overline z \right)^n$
    • $z \overline z \in \mathbb R$ et $z \overline z \ge 0$
    • si $z \ne 0$, $\frac{1}{z} = \frac{\overline z}{\left. z \overline z \right\} \in \mathbb R}$
      (sert à réécrire un complexe sans imaginaire au dénominateur)
    • si $z \ne 0$, $\overline {\left( \frac{1}{z} \right)} = \frac{1}{\overline z}$
    • si $z' \ne 0$, $\overline {\left( \frac{z}{z'} \right)} = \frac{\overline z}{\overline {z'}}$
  5. L’image du conjugué est le symétrique par rapport à l’axe des abscisses de l’image.

Il est intéressant de traduire chacune de ces égalités par une phrase en français.

  1. Un complexe est égal à son conjugué si et seulement si c'est un réel.
  2. Un complexe est égal à l'opposé de son conjugué si et seulement si c'est un imaginaire pur.
  3. La demie-somme d’un complexe avec son conjugué…
  4. On a :
    • le conjugué du conjugué…

Démonstrations laissées en exercice, avec indications :

  1. Résoudre l'équation en utilisant la forme algébrique.
  2. Résoudre l'équation en utilisant la forme algébrique.
  3. Mener le calcul avec la forme algébrique.
  4. Utiliser la forme algébrique, et éventuellement le raisonnement par récurrence. Pour le quotient, mettre $\frac{1}{z}$ sous forme algébrique en remarquant que $\frac{1}{a+ib} = \frac{a-ib}{(a+ib)(a-ib)}$ et en utilisant le fait que $(a+ib)(a-ib) = z \overline z$ est réel.
    Attention : pour ces démonstrations, on ne calcule le conjugué d’un nombre que si on a bien isolé la partie réelle de la partie imaginaire (ne pas utiliser la propriété que vous être en train de démontrer !).

3.5. Forme algébrique d’un quotient

Mettre sous forme algébrique les nombres suivants :

 

Utiliser l’égalité, pour $z \ne 0$ : $\frac{1}{z} = \frac{\overline z}{z \overline z}$.

4. Équations du second degré

4.1. Préliminaires

Résoudre dans $\mathbb R$ les équations suivantes (en justifiant !) :

Résoudre dans $\mathbb C$ les équations suivantes (en justifiant !) :

4.2. Théorème

Soit $a$, $b$ et $c$ des réels avec $a \ne 0$, et $\left( E \right)$ l’équation $az^2 + bz + c = 0$.

En notant $\Delta = b^2 - 4ac$, on a les cas suivants :

4.2.1. 1er cas

Si $\Delta \ge 0$, alors nous distinguons deux sous-cas :

4.2.1.1. 1er sous cas

Si $\Delta > 0$, alors $S = \left\{ \frac{-b - \sqrt \Delta}{2a} ; \frac{-b + \sqrt \Delta}{2a}\right\}$.

En notant $z_1$ et $z_2$ ces deux solutions, on a :

$$az^2 + bz + c = a \left( z - z_1 \right)\left( z - z_2 \right)$$

4.2.1.2. 2ème sous cas

Si $\Delta = 0$, alors $S = \left\{ \frac{-b}{2a} \right\}$.

En notant $z_0$ cette solution, on a :

$$az^2 + bz + c = a \left( z - z_0 \right)^2$$

4.2.2. 2ème cas

Si $\Delta < 0$, alors $S = \left\{ \frac{-b - i\sqrt {-\Delta}}{2a} ; \frac{-b + i\sqrt {-\Delta}}{2a}\right\}$.

En notant $z_1$ et $z_2$ ces deux solutions, on a encore :

$$az^2 + bz + c = a \left( z - z_1 \right)\left( z - z_2 \right)$$

De plus, les racines sont conjuguées, c’est-à-dire que l’on a :

$$\overline{z_1} = z_2~\left( \text{et bien sûr}~\overline{z_2} = z_1 \right)$$

4.3. Démonstration

En cours de rédaction.

4.4. Exemple

Résoudre dans $\mathbb C$ l’équation $z^2 + z + 1 = 0$.

Vérifier les solutions que donne le théorème.

4.5. Remarques




Christophe Gragnic, le 21/03/2016, 18h25'34".






Page générée le 04/12/2016, 10h08'07" (source).
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