tite fractale

Intégration

1. Unité d’aire

1.1. Définition

En mathématiques, une unité d’aire (U.A.) est l’aire du rectangle OIAJ où O(0;0), I(1;0), A(1;1) et J(0;1).

une unité d’aire

1.2. Conversions

Connaissant la longueur des unités de chaque axe, on peut calculer l’aire réelle d’une unité d’aire. Il suffit de les multiplier.

1.3. Exemples

100 cm², 5 cm², 20 cm², $\frac{3}{50} cm^2$

1.4. Remarques

2. Intégrale

2.1. Intégrale d’une fonction positive

2.1.1. Définition

Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $\left[a;b\right]$.

On note $\int_a^b f(x)~dx$ l’intégrale de $f$ sur $\left[a;b\right]$. C’est la valeur de l’aire en U.A. de la partie $\mathscr E$ du plan délimitée (attention chorégraphie) :

On prononce :

intégrale de $a$ à $b$ de $f$ de $x$ $dx$.

aire sous la courbe

2.1.2. Remarques

2.2. Intégrale d’une fonction non positive

On étend la définition aux fonctions non positives : si la fonction $f$ change de signe, les aires des zones où $f$ est négative sont comptées négativement.

aire sous la courbe f non positive

2.3. Sens des bornes

On étend la définition aux bornes inversées : si $a > b$,

$$\int_a^b f(x)~dx = -\int_b^a f(x)~dx$$

Bien sûr, cette égalité peut être lue dans les deux sens.

Exemple : Calculer $\int_2^0 x~dx$.

$\int_2^0 x~dx = - \int_0^2 x~dx = 2$

3. Propriétés de l’intégrale

3.1. Relation de Chasles

Pour tout $a$, $b$ et $c$ de l’intervalle $I$, $$\int_a^b f(x)~dx + \int_b^c f(x)~dx = \int_a^c f(x)~dx$$

somme des aires de chaque partie

Égalité qui reste valable si $f$ n’est pas positive ou si les bornes ne sont pas ordonnées de façon croissante.

En particulier, on a : $$\int_a^b f(x)~dx + \int_b^a f(x)~dx = \int_a^a f(x)~dx = 0$$

3.2. Linéarité de l’intégrale

Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $I$ et $k$ est un nombre réel. Pour $a$ et $b$ dans $I$, on a :

Autrement dit :

Voir figures et démonstrations dans le livre.

3.3. Positivité de l’intégrale

Ces propriétés sont expliquées ou démontrées p.248 du livre.

3.3.1. Positivité

Si $a \le b$ et si pour tout $x$ de $\left]a;b\right[$ on a $f(x) \ge 0$, alors $\int_a^b f(x)~dx \ge 0$.

3.3.2. Comparaison

Si $a \le b$ et si pour tout $x$ de $\left]a;b\right[$ on a $f(x) \le g(x)$, alors $\int_a^b f(x)~dx \le \int_a^b g(x)~dx$.

3.3.3. Minoration ou majoration

Si $a \le b$ et si pour tout $x$ de $\left]a;b\right[$ on a $m \le f(x) \le M$, alors $m(b-a) \le \int_a^b f(x)~dx \le M(b-a)$.

4. Calcul d’intégrales

4.1. À la main

Si les zones « sous la courbe » ont des formes géométriques simples (rectangles, triangles, trapèzes, demi-disques…) alors peut utiliser les formules d’aire correspondantes.

Rappels :

4.2. Avec les primitives

A suivre...




Christophe Gragnic, le 09/10/2016, 21h01'00".






Page générée le 04/12/2016, 10h08'07" (source).
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