tite fractale

Géométrie vectorielle dans l’espace

1. Vecteurs de l’espace

1.1. Rappels dans le plan et extension à l’espace

Les vecteurs de l’espace se comportent exactement de la même manière que dans le plan. Citons brièvement :

Le critère de la colinéarité utilisant le produit en croix ne peut s’appliquer avec trois coordonnées. Il faut résoudre le système avec $k$.

Des propriétés supplémentaires seront vues plus loin au fur et à mesure de nos besoins.

2. Représentation paramétrique d’une droite

On munit l’espace du repère $(0; \vec i; \vec j; \vec k)$. Les repères de l’espace seront étudiés plus rigoureusement un peu plus loin.

2.1. Premiers exemples

2.1.1. Dans le plan

Activité d’introduction

Questions :

2.1.2. Axes du repère de l’espace

Soit $M$ le point de coordonnées $(t,0,0)$. Quelles sont ses coordonnées si  :

Mêmes questions si $M$ a pour coordonnées $(0;t;0)$, puis $(0;0;t)$ ?

Mêmes questions si $M$ a pour coordonnées $(2t;0;0)$, puis $(0;2t;0)$, puis $(0;0;2t)$ ?

Mêmes questions si $M$ a pour coordonnées $(-t;0;0)$, puis $(0;-t;0)$, puis $(0;0;-t)$ ?

2.1.3. D’autres droites

Mêmes questions si $M$ a pour coordonnées $(t;t;t)$, puis $(t;t;0)$, puis $(t;0;t)$, puis $(0;t;t)$ ?

Mêmes questions si $M$ a pour coordonnées $(1+t;t;t)$, puis $(1+t;t;0)$, puis $(1+t;0;t)$, puis $(1;t;t)$ ?

Mêmes questions si $M$ a pour coordonnées $(1+t;2+t;3+t)$, puis $(1+t;2+t;3)$, puis $(1+t;2;3+t)$, puis $(1;2+t;3+t)$ ?

Que se passerait-il si on remplaçait $t$ par $2t$ ou $-t$ ?

2.2. Généralisation

$M$ peut être considéré comme un mobile (comme en mécanique) qui se déplace sur la droite $d$ en fonction de la variable temporelle $t$.

On définit les points $A$ et $B$ par :

On remarque que $A$ est un point de $d$ et que $\vec {AB}$ dirige $d$. Si on note les coordonnées ainsi :

on a alors $\vec{OM} = \vec{OA} + \vec{AM} = \vec{OA} + t×\vec{AB}$, c'est-à-dire, avec les coordonnées :

$$ \left ( \begin{array}{l} x \\\\ y \\\\ z \end{array} \right) = \left ( \begin{array}{l} x_0 \\\\ y_0 \\\\ z_0 \end{array} \right) + t × \left ( \begin{array}{l} a \\\\ b \\\\ c \end{array} \right) = \left ( \begin{array}{l} x_0 + ta \\\\ y_0 + tb \\\\ z_0 + tc \end{array} \right) $$

2.3. Définition

La droite $d$ est définie par le point $A(x_0; y_0; z_0)$ et un vecteur $\vec u (a;b;c)$.

On appelle représentation paramétrique de $d$ le système suivant :

$$ \left \{ \begin{array}{l} x = x_0 + ta \\\\ y = y_0 + tb \\\\ z = z_0 + tc \end{array} \right. \ \text{où}\ t\ \text{décrit l’ensemble des réels}$$

Remarques : on peut aussi écrire :

$$d = \left\{M(x_0 + ta; y_0 + tb; z_0 + tc); t \in \mathbb R \right\}$$

3. Représentation paramétrique d’un plan

3.1. Sur des exemples

$M(s, t, 0)$, $M(s, 0, t)$, $M(0, s, t)$

3.2. Définition

3.3. Remarques

4. Coplanarité

4.1. De vecteurs

4.1.1. Définition

4.1.2. Remarques

Sens que pour 3 vecteurs.

4.1.3. Critère

4.1.4. Repères

Décomposition selon trois vecteurs

4.2. De points

4.2.1. Remarques

Sens que pour 4 points.

5. Produit scalaire

Attention, besoin repère orthonormé. Avant dans ce chapitre, pas forcément besoin.

5.1. Définition

5.2. Propriétés

5.3. Vecteur orthogonal à un plan

5.3.1. Définition

5.3.2. Critère

5.4. Équation cartésienne d’un plan

5.4.1. Vecteur normal -> eq

5.4.2. Eq -> vecteur normal

???

5.4.3. Propriété

Si $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs de l’espace et $\alpha$ et $\beta$ deux réels quelconques, alors on peut choisir des représentants dans un même plan de $\vec u$, $\vec v$ et $\vec w = \alpha \vec u + \beta \vec v$.

Remarque : C’est un peu comme si on disait :

Deux points ainsi que tout point sur la droite qu’ils définissent sont alignés.

5.4.4. Propriété

Si $O$ est un point de l’espace et $\vec i$ et $\vec j$ deux vecteurs non colinéaires de l’espace, alors il existe un unique plan $P$ contenant :

Le triplet $(O, \vec i, \vec j)$ est alors un repère du plan $P$.

Remarque : Propriété équivalente à la définition d’un plan par deux droites sécantes (un point et deux directions).

5.4.5. Propriété

Deux plans définis par le même couple $(\vec i, \vec j)$ de vecteurs non colinéaires sont parallèles.

Remarque : on dira aussi qu’ils ont la même direction. Le mot direction ayant un sens plus large que quand il est utilisé dans le langage courant.

5.5. Vecteurs coplanaires et repères de l’espace

5.5.1. Définition

Trois vecteurs sont dits coplanaires s’ils possèdent un représentant dans un même plan.

5.5.2. Théorème

Tout vecteur de l’espace peut se décomposer suivant trois vecteurs non coplanaires.

5.5.3. Propriété

Si $O$ est un point de l’espace et $\vec i$, $\vec j$ et $\vec k$ sont trois vecteurs non coplanaires, alors le quadruplet $(O; \vec i; \vec j; \vec k)$ est un repère de l’espace.

La troisième coordonnée s’appelle la cote. Si l’axe correspondant est représenté vertical et orienté vers le haut, alors on peut aussi parler de hauteur ou d’altitude.










Page générée le 27/05/2021, 09h53'27" (source).
historique de la page
historique global