Fonctions réelles, exercices
1. Limites
1.1. Corrigées
Donner les limites en $- \infty$ et $+ \infty$ des fonctions suivantes :
| De 1 à 5 | de 6 à 10 | de 11 à 15 | de 16 à 20 |
|---|---|---|---|
| $f_1(x)=3x-1$ | $f_6(x)=100x+x^2$ | $f_{11}(x)=\frac{x-5}{x^2+3x-1}$ | $f_{16}(x)=x^3-4x^4$ |
| $f_2(x)=-5x+153$ | $f_7(x)=\frac{x-1}{2-x}$ | $f_{12}(x)=\frac{x^2+17x-1}{x^3-312x}$ | $f_{17}(x)=\frac{x^2-1}{2x^2+17}$ |
| $f_3(x)=12-x$ | $f_8(x)=\frac{3x-1}{2x+12}$ | $f_{13}(x)=\frac{x^2+5}{x^4-7}$ | $f_{18}(x)=\frac{5-x^4}{3+x^2}$ |
| $f_4(x)=2x^3-x^2$ | $f_9(x)=\frac{1-6x}{2x-17}$ | $f_{14}(x)=\frac{x^3-12}{x^2+2x+1}$ | $f_{19}(x)=x^2-5x^3$ |
| $f_5(x)=x-5x^2$ | $f_{10}(x)=\frac{x^2-2x+1}{x-1}$ | $f_{15}(x)=\frac{x^2-x^3}{5-x}$ | $f_{20}(x)=-3x^7+135x^6$ |
D’abord en $-\infty$ puis en $+\infty$.
$f_1$: $-\infty$ et $+\infty$;
$f_2$: $+\infty$ et $-\infty$;
$f_3$: $+\infty$ et $-\infty$;
$f_4$: $-\infty$ et $+\infty$;
$f_5$: $-\infty$ et $-\infty$;
$f_6$: $+\infty$ et $+\infty$;
$f_7$: $-1$ et $-1$;
$f_8$: $\frac{3}{2}$ et $\frac{3}{2}$;
$f_9$: $-3$ et $-3$;
$f_{10}$: $-\infty$ et $+\infty$;
$f_{11}$: $0$ et $0$;
$f_{12}$: $0$ et $0$;
$f_{13}$: $0$ et $0$;
$f_{14}$: $-\infty$ et $+\infty$;
$f_{15}$: $+\infty$ et $+\infty$;
$f_{16}$: $-\infty$ et $-\infty$;
$f_{17}$: $\frac{1}{2}$ et $\frac{1}{2}$;
$f_{18}$: $-\infty$ et $-\infty$;
$f_{19}$: $+\infty$ et $-\infty$;
$f_{20}$: $+\infty$ et $-\infty$;
$f_1$: $-\infty$ et $+\infty$;
$f_2$: $+\infty$ et $-\infty$;
$f_3$: $+\infty$ et $-\infty$;
$f_4$: $-\infty$ et $+\infty$;
$f_5$: $-\infty$ et $-\infty$;
$f_6$: $+\infty$ et $+\infty$;
$f_7$: $-1$ et $-1$;
$f_8$: $\frac{3}{2}$ et $\frac{3}{2}$;
$f_9$: $-3$ et $-3$;
$f_{10}$: $-\infty$ et $+\infty$;
$f_{11}$: $0$ et $0$;
$f_{12}$: $0$ et $0$;
$f_{13}$: $0$ et $0$;
$f_{14}$: $-\infty$ et $+\infty$;
$f_{15}$: $+\infty$ et $+\infty$;
$f_{16}$: $-\infty$ et $-\infty$;
$f_{17}$: $\frac{1}{2}$ et $\frac{1}{2}$;
$f_{18}$: $-\infty$ et $-\infty$;
$f_{19}$: $+\infty$ et $-\infty$;
$f_{20}$: $+\infty$ et $-\infty$;
1.2. Non corrigées
Donner les limites en $- \infty$ et $+ \infty$ des fonctions suivantes :
| De 1 à 5 | de 6 à 10 | de 11 à 15 | de 16 à 20 |
|---|---|---|---|
| $f_1(x)=-5x+153$ | $f_6(x)=\frac{x-1}{2-x}$ | $f_{11}(x)=\frac{x^2+17x-1}{x^3-312x}$ | $f_{16}(x)=\frac{x^2-1}{2x^2+17}$ |
| $f_2(x)=2x^3-x^2$ | $f_8(x)=\frac{1-6x}{2x-17}$ | $f_{12}(x)=\frac{x^3-12}{x^2+2x+1}$ | $f_{17}(x)=x^2-5x^3$ |
| $f_3(x)=3x-1$ | $f_8(x)=100x+x^2$ | $f_{13}(x)=\frac{x-5}{x^2+3x-1}$ | $f_{18}(x)=x^3-4x^4$ |
| $f_4(x)=x-5x^2$ | $f_{9}(x)=\frac{x^2-2x+1}{x-1}$ | $f_{14}(x)=\frac{x^2-x^3}{5-x}$ | $f_{19}(x)=-3x^7+135x^6$ |
| $f_5(x)=12-x$ | $f_{10}(x)=\frac{3x-1}{2x+12}$ | $f_{15}(x)=\frac{x^2+5}{x^4-7}$ | $f_{20}(x)=\frac{5-x^4}{3+x^2}$ |
2. Dérivées
2.1. Corrigées
| De 1 à 5 | de 6 à 10 |
|---|---|
| $f_1(x)=12$ | $f_6(x)=-2x^3$ |
| $f_2(x)=3x-1$ | $f_7(x)=3x^2-5x+2$ |
| $f_3(x)=5-2x$ | $f_8(x)=-x^{27}+5x^{10}-12x+1$ |
| $f_4(x)=x^2$ | $f_9(x)=2x^2+\frac{5}{17}x-11$ |
| $f_5(x)=x^5$ | $f_{10}(x)=\frac{137}{6}x^{12}-\frac{17}{10}x^5-27$ |
$f_1'(x)=0$
$f_2'(x)=3$
$f_3'(x)=-2$
$f_4'(x)=2x$
$f_5'(x)=5x^4$
$f_6'(x)=-6x^2$
$f_7'(x)=6x-5$
$f_8'(x)=-27x^{26}+50x^9-12$
$f_9'(x)=4x+\frac{5}{17}$
$f_{10}'(x)=274x^{11}-\frac{17}{2}x^4$
$f_2'(x)=3$
$f_3'(x)=-2$
$f_4'(x)=2x$
$f_5'(x)=5x^4$
$f_6'(x)=-6x^2$
$f_7'(x)=6x-5$
$f_8'(x)=-27x^{26}+50x^9-12$
$f_9'(x)=4x+\frac{5}{17}$
$f_{10}'(x)=274x^{11}-\frac{17}{2}x^4$
2.2. Exercices auto-correctifs
Première méthode : dériver en utilisant la formule de dérivée d’un produit.
Deuxième méthode : développer $f$ puis dériver.
L’auto-correction est due au fait qu’il est quasi improbable de s’être tromper si les deux résultats concordent. En revanche, si les résultats sont différents, on peut être sûr d’avoir fait une erreur dans une des deux méthodes.
| De 11 à 15 | à partir de 16 |
|---|---|
| $f_{11}(x)=(2x+1)(x-2)$ | $f_6(x)=…$ |
| $f_{12}(x)=(1-4x)(x+3)$ | |
| $f_{13}(x)=(2x^2+5x-1)(1-7x)$ | |
| $f_{14}(x)=(3-5x)(x^3-12)$ | |
| $f_{15}(x)=(3x^4-x)(27-x-x^2)$ |