1. Rappels

1.1. Généralités

Une matrice est un tableau de nombres (souvent réels) avec lesquels on peut faire des calculs :

• somme et différence de matrices de même taille,
• produit d’une matrice par un réel,
• produit (non commutatif) de deux matrices (de tailles adéquates),
• puissances d’une matrice carrée.

Voir cette page.

On remarque que les matrices 1×1 peuvent être assimilées à des réels. Les opérations ci-dessus sont peuvent être assimilées aux opérations que l’on connaît bien.

Les matrices colonnes ou lignes sont appelées des vecteurs.

1.2. Matrice unité

La matrice unité de taille $n$, notée $I_n$ ou simplement $I$ s’il n’y a pas ambiguïté, est la matrice carrée de taille $n$ qui contient des 1 sur sa diagonale principale et des 0 ailleurs.

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\\\ 0 & 1 & \ddots & \vdots \\\\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\\\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

C’est l’élément neutre pour le produit des matrices ($AI = IA = A$).
En effectuant à la main un produit, on observe qu’elle a en quelque sorte un rôle de copiste. Les 0 et les 1 de $I$ laissent ou non passer les coefficients de $A$, comme des booléens (idée de masques).

Si $n$ vaut 1, on a $I_1 = (1)$.

2. Matrice inverse

2.1. Définition

Une matrice $A$ est dite inversible s’il existe une matrice $B$ telle que :

$$ A×B = I ~~~\text{et}~~~ B×A = I $$

Cette matrice $B$ est notée $A^{-1}$.

2.2. Remarques

• $A$ et $B$ sont forcément de même taille, et même carrées.
• $A$ et $B$ sont dites inverses l’une de l’autre ($A$ est aussi l’inverse de $B$).
• Dans le cas où $n$ vaut 1, $(a)$ est inversible si et seulement si…

2.3. Pourquoi cette notation

C’est en fait la même que chez les nombres. Pour un réel non nul $x$, $x^{-1}$ est la notation pour l’inverse de $x$, où : $$x × x^{-1} = 1$$

La notation $\frac{1}{x}$ peut être utilisée avec les nombres mais pas avec les matrices, car elles n’ont pas de division.

2.4. Un exemple concret

2.4.1. Situation

Dans un groupe de 27 personnes, il y a deux fois plus de garçons que de filles.

Question : Combien y a-t-il de garçons, de filles, dans ce groupe ?

2.4.2. Traduction matricielle

En traduisant cette situation par un système, on obtient, en posant $x$ le nombre de garçons et $y$ le nombre de filles :

$$\left \{ \begin{array}{l} x + y = 27 \\\\ x = 2y \end{array} \right.$$

En alignant bien et en faisant apparaître les coefficients :

$$\left \{ \begin{array}{l} 1x + 1y = 27 \\\\ 1x -2y = 0 \end{array} \right.$$

En faisant apparaître la moindre opération :

$$\left \{ \begin{array}{c} (1 & × & x) & + & ( 1 & × & y ) & = 27 \\\\ (1 & × & x) & + & ( (-2) & × & y ) & = 0 \end{array} \right.$$

On reconnaît un produit matriciel. On posant :

$A$ la simple copie des coefficients du système :

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\\\ 1 & -2 \\\\ \end{pmatrix}$$

$X$ le vecteur inconnu (contenant les inconnues) :

$$ X = \begin{pmatrix} x \\\\ y \\\\ \end{pmatrix}$$

$B$ le vecteur contenant les valeurs visées :

$$ B = \begin{pmatrix} 27 \\\\ 0 \\\\ \end{pmatrix}$$

On obtient l’équation matricielle :

$$ A×X = B $$

Ou simplement :

$$ AX = B $$

Où $X$ est le vecteur inconnu.

À vérifier vous-même en calculant $AX$ !

2.4.3. En dimension 1

On obtiendrait l’équation $a × x = b$. Dans le cas où $a$ n’est pas nul, elle a pour solution (il suffit de diviser par $a$) :

$$ x = \frac{b}{a} \left(= \frac{1}{a} × b \right) $$

Remarque : $\frac{1}{a}$ est l'inverse de $a$.

2.4.4. En dimension n

On ne peut pas diviser, mais on peut, si $A$ est inversible, multiplier à gauche par $A^{-1}$.

$$ \begin{aligned} A × X &= B &(1) \\\\ A^{-1} × A × X &= A^{-1} × B &(2) \\\\ I × X &= A^{-1} × B &(3) \\\\ X &= A^{-1} × B &(4) \\\\ \end{aligned} $$

1. Équation à résoudre.
2. On multiplie les deux membres par $A^{-1}$, à gauche pour les deux !
3. Par définition de l’inverse de $A$, on a $A^{-1} × A = I$.
4. $I$ est l’élément neutre pour $×$. L’équation est résolue.

On remarque que la solution en dimension 1 était similaire.

2.4.5. Cherchons la matrice inverse

Pour trouver $A^{-1}$, on résout le système suivant :

$$\left \{ \begin{array}{l} 1x + 1y = a \\\\ 1x -2y = b \end{array} \right.$$

où $a$ et $b$ sont des paramètres du système. On veut en fait exprimer $x$ et $y$ en fonction de ces paramètres.

Après quelques heures de travail, on trouve :

$$\left \{ \begin{array}{l} x = \frac{2}{3} × a + \frac{1}{3} × b \\\\ y = \frac{1}{3} × a - \frac{1}{3} × b \\\\ \end{array} \right.$$

On a fait apparaître la matrice inverse, puisque l’écriture matricielle du système de départ était $AX=B$ :

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\\\ 1 & -2 \\\\ \end{pmatrix} × \begin{pmatrix} x \\\\ y \\\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\\\ b \\\\ \end{pmatrix} $$

et que celle de ce système est $X=A^{-1}B$ :

$$ \begin{pmatrix} x \\\\ y \\\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\\\ \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \\\\ \end{pmatrix} × \begin{pmatrix} a \\\\ b \\\\ \end{pmatrix} $$

2.4.6. Vérifications

En notant $A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\\\ \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \\\\ \end{pmatrix}$, vérifier que $A^{-1}×A = I$ et $A × A^{-1} = I$, puis donner le nombre de garçons puis de filles du groupe, en vérifiant qu’ils conviennent.

2.5. Lien avec la résolution des systèmes

On peut donc résoudre un système linéaire mis sous la forme $AX=B$ en trouvant $A^{-1}$ (si possible), puis en calculant $X=A^{-1}B$.

3. Méthode du pivot de Gauss

3.1. Principe

La méthode du pivot de Gauss, ou de Gauss-Jordan, cherche à transformer un système linéaire en des systèmes linéaires équivalents et plus simples, jusqu’à l’obtention d’un système dit triangulaire (voire échelonné réduit). La matrice associée sera ainsi triangulaire ou échelonnée réduite.

$$ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\\\ 0 & a_{22} & \cdots & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2n} \\\\ \vdots & \vdots & & & \vdots & & \vdots \\\\ 0 & a_{i2} & \cdots & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\\\ \vdots & \vdots & & & \vdots & & \vdots \\\\ 0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}$$

Après le choix d’un pivot (sur lequel on s’appuie pour soulever le monde, en réalisant une liaison du même nom), on combine les lignes pour annuler les coefficients de manière judicieuse.

3.2. Algorithme

Voir l’article Wikipedia.

En SIO, on ne travaillera qu’avec des matrices carrées, c’est-à-dire avec des systèmes avec autant d’équations que d’inconnues. Le m de l’algorithme sera remplacé par le n.

Appliquons-le au système suivant :

$$\left \{ \begin{array}{l} 2x - y = 1 \\\\ -x + 2y - z = 0 \\\\ -y + 2z = 27 \end{array} \right.$$

3.3. Méthode moins rigide

On ne choisit pas forcément le pivot le plus grand en valeur absolue, en on se contente d’un système triangulaire.