1. Activité d’introduction

Voir ici.

2. Vocabulaire ensembliste et notations

2.1. Vocabulaire

On rappelle qu'un point peut appartenir à un ensemble (ou pas). En revanche, on ne dit pas qu'un ensemble appartient (ou non) à un autre ensemble. On dit qu'un ensemble est inclus dans un autre ensemble (ou non).

Exemples :

• un point appartient à une droite,
• un point appartient à un plan,
• une droite est incluse dans un plan (une droite est un ensemble de points).

2.2. Comment désigner un plan par des points

Des ensembles contenus dans un même plan seront dits coplanaires. La coplanarité est à la dimension 2 ce que l'alignement est à la dimension 1.

Rappel :

• Une droite peut être définie par deux points non confondus. Par exemple la droite (AB).
• On sait que deux points (confondus ou non) sont toujours alignés.
• Soit deux points non confondus. Si vient un troisième point, la question de l'alignement se pose.
• Une droite peut être désignée par deux points, jamais par trois.

De même pour un plan :

• Un plan peut être défini par trois points non alignés (penser à un tabouret à trois pieds). Par exemple le plan (ABC).
• On sait que trois points sont toujours contenus dans un certain plan (donc coplanaires).
• Soit trois points distincts deux à deux. Si vient un quatrième point, la question de la coplanarité se pose (penser à une chaise que l'on a besoin de caler). En mécanique, on peut dire qu'une chaise à quatre pieds est hyperstatique.
• Un plan peut-être désigné par trois points, jamais par quatre.

2.3. Le cube de référence

On se réfèrera souvent à ce cube :

    H       G
    +-------+
   /       /|
  /       / |
E+-------+F |
 |       |  |
 |  +D   |  +C
 |       | /
 |       |/
A+-------+B

3. Incidence et parallélisme

3.1. Positions relatives des droites et des plans

3.1.1. Deux droites

Deux droites peuvent être :

• coplanaires, et on retrouve les positions relatives bien connues suivantes :
  • parallèles, ou plus précisément :
    • confondues, ou
    • strictement parallèles
  • sécantes en un point,
• non coplanaires.

Remarques :

• On rappelle que, dans le plan, deux droites non parallèles sont sécantes, même si c’est hors du dessin ! On peut d’ailleurs calculer l’éloignement de cette intersection en fonction de l’angle.
• C'est une nouveauté importante de la géométrie dans l'espace par rapport à la géométrie dans le plan. On dit parfois abusivement qu'il y a « plus de place » dans l'espace que dans le plan car dans cet espace de dimension 3, deux droites (de dimension 1) non parallèles peuvent ne pas avoir d'intersection.
• Deux droites ni parallèles ni sécantes seront non coplanaires.

Exemples :

• (AC) et (EC) sont sécantes
• elles sont sécantes en C, on notera : $(AC) \cap (EC) = \left\{C\right\}$ ;
• ce n’est pas la peine de regarder la figure pour le savoir ;
• elles sont donc coplanaires, dans un plan que l'on peut noter (AEC) ou (AGC) ou (ECG) ou (AEG), mais pas (AEGC) ! De même…
• (HF) et (DB) sont parallèles, donc coplanaires, dans le plan (HFD). De même…
• Sont non coplanaires, les droites :
  • (HC) et (EA), car le plan (AEH) ne contient pas C,
  • (EG) et (AH), car…
  • (AF) et (HC), car…

3.1.2. Deux plans

Deux plans peuvent être :

• parallèles, ou plus précisément :
  • confondus, ou
  • strictement parallèles
• sécants selon une droite (ici, $P_1$ et $P_2$ sont sécants selon $\mathscr D$).

Attention, les plans sont infinis dans toutes les directions, et la droite aussi.

Remarque :

Les plans jouent, dans l’espace, le même rôle que les droites dans le plan.

Exemples :

• (ABC) et (ABD) sont confondus,
  • autres exemples :…
• (ABC) et (EFG) sont strictement parallèles,
  • autres exemples :…
• donc (ABC) et (ABD) sont parallèles, ainsi que (ABC) et (EFG),
• (ABD) et (ADE) sont sécants (selon (AD)),
  • autres exemples :…

3.1.3. Une droite et un plan

Soit $\mathscr D$ une droite et $\mathscr P$ un plan. On peut avoir :

• $\mathscr D$ et $\mathscr P$ sont parallèles, ou plus précisément :
  • $\mathscr D$ et $\mathscr P$ sont strictement parallèles, ou
  • $\mathscr D$ est incluse dans $\mathscr P$,
• $\mathscr D$ et $\mathscr P$ sont sécants en un point (certains disent parfois « strictement » pour distinguer avec l'inclusion).

3.2. Caractérisations du parallélisme

On admet pour l'instant les propriétés suivantes.

3.2.1. Propriété avec une droite et un plan

Un plan $\mathscr P$ est parallèle à une droite $\mathscr D$ s'il contient une droite $\mathscr D'$ parallèle à cette droite $\mathscr D$.

Trouver des exemples dans le cube de référence.

3.2.2. Propriété avec deux droites sécantes

Deux plans $\mathscr P$ et $\mathscr P'$ sont parallèles si $\mathscr P$ contient deux droites strictement sécantes (entre elles) toutes deux parallèles à $\mathscr P'$.

Retenir : Deux droites définissent la direction (orientation) d'un plan.

Trouver des exemples dans le cube de référence.

3.2.3. Propriété avec deux plans

Si deux plans sont parallèles, alors tout plan sécant à l'un est sécant à l'autre, et de plus les droites d'intersection sont parallèles.

Autrement dit, dans ce cube :

Si deux plans $\mathscr P_1$ et $\mathscr P_2$ sont parallèles, alors tout plan $\Pi$ sécant à l'un est sécant à l'autre, et de plus les droites d'intersection $d_1$ et $d_2$ sont parallèles.

3.2.4. Théorème du toit

Si $d_1$ et $d_2$ sont parallèles et respectivement incluses dans les plans $\mathscr P_1$ et $\mathscr P_2$, et si $\mathscr P_1$ et $\mathscr P_2$ sont sécants, alors l'intersection $\Delta$ de $\mathscr P_1$ et $\mathscr P_2$ est parallèle à $d_1$ et $d_2$.

4. Orthogonalité

4.1. Deux droites

4.1.1. Définition

Deux droites sont dites orthogonales lorsque leur parallèle respective menée par un point de l'espace sont perpendiculaires.

4.1.2. Exemples

• $d_1~//~\Delta_1$ et $d_2~//~\Delta_2$. Comme $\Delta_1$ et $\Delta_2$ sont perpendiculaires, $d_1$ et $d_2$ sont orthogonales.
• $\Delta_1$ et $\Delta_2$ sont perpendiculaires et orthogonales.
• $(DH) \perp (FG)$, $(AB) \perp (FG)$, $(DH) \perp (AB)$.

4.1.3. Remarques

• Deux droites perpendiculaires sont orthogonales.
• Dans le plan, deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles. Attention, ce n'est plus vrai dans l'espace :
  $(DH) \perp (FG)$ et $(AB) \perp (FG)$, mais $(DH) \perp (AB)$.

4.2. Une droite et un plan

4.2.1. Définition

Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.

Ici, la droite $d$ est orthogonale au plan $P$. Elle est en particulier orthogonale à $d_1$ et $d_2$.

4.2.2. Théorème

On admet pour l'instant que :

Pour qu'une droite soit orthogonale à un plan, il suffit qu'elle soit orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

Sur cette figure :

On peut dire que pour que la droite $d$ soit orthogonale au plan $P$, il suffit qu'elle soit orthogonale à $d_1$ et $d_2$.

4.3. Deux plans

4.3.1. Définition

Deux plans sont perpendiculaires lorsque l'un d'eux contient une droite orthogonale à l'autre.