1. Définition

À ce moment de l’année, on peut définir le logarithme népérien de deux façons :

• comme primitive de la fonction inverse sur $\mathbb R_+^*$ (voir la dérivée manquante du chapitre précédent),
• comme réciproque de la fonction exponentielle (voir chapitre correspondant).

On pourra bien sûr vérifier qu’on peut passer de l’une à l’autre et réciproquement.

On utilisera ici :

Pour tout $k \in \left] 0 ; +\infty \right[$, il existe un unique réel $x$ tel que $e^x = k$.

Figure.

Ce $x$ est le logarithme népérien de $k$ et est noté $\ln k$ (avec des parenthèses s’il y a ambiguïté).

2. Propriétés

Pour tout $x$ et $y$ des réels strictement positifs, on a :

• $\ln 1 = 0$ car $\ln 1 = \ln \left( \exp(0) \right) = 0$
• $\ln e = 1$ car $\ln e = \ln (e^1) = \ln \left( \exp(1) \right) = 1$
• $\ln x + \ln y = \ln \left(xy\right)$ car $e^{\ln x + \ln y} = …$
• $- \ln x = \ln \frac{1}{x}$ car …
• $\ln x - \ln y = \ln \frac{x}{y}$ (deux méthodes au moins pour le montrer)
• $n\ln x = \ln \left( x^n \right)$

3. Étude de la fonction

Domaine de définition à étudier avant simplification.

ex : $\ln x - \ln x$ dont le domaine de définition avant simplification est $\left] 0; + \infty \right[$

ex : $\ln \left( x^2 \right)$ dont le domaine de définition avant simplification est $\mathbb R^*$

Croissance comparée, démos dans les exercices 95 et 96.

4. Puissances réelles

$$1296 = \sqrt{\sqrt[\frac{1}{2^{\sqrt 9}}]{6}}$$