Géométrie vectorielle dans l’espace
1. Vecteurs de l’espace
1.1. Rappels dans le plan et extension à l’espace
Les vecteurs de l’espace se comportent exactement de la même manière que dans le plan. Citons brièvement :
- définis par deux points, par une lettre, représentants,
- somme, multiplication par un entier strictement positif,
- vecteur nul, vecteur opposé, différence, multiplication par un entier relatif,
- multiplication par un réel,
- milieux, symétriques et centres de gravité,
- colinéarité et conséquences sur les points et les droites,
- relation de Chasles,
- …
Le critère de la colinéarité utilisant le produit en croix ne peut s’appliquer avec trois coordonnées. Il faut résoudre le système avec $k$.
Des propriétés supplémentaires seront vues plus loin au fur et à mesure de nos besoins.
2. Représentation paramétrique d’une droite
On munit l’espace du repère $(0; \vec i; \vec j; \vec k)$. Les repères de l’espace seront étudiés plus rigoureusement un peu plus loin.
2.1. Premiers exemples
2.1.1. Dans le plan
Questions :
- Quelles fonctions de $t$ mettre comme coordonnées de $A$ pour décrire la même droite mais d’une autre façon ?
- Quelles fonctions de $t$ mettre comme coordonnées de $A$ pour décrire une autre droite ?
- Que peut-on dire lorsque l’abscisse de $A$ vaut $t$ et l’ordonnée de $A$ vaut $at+b$ ?
2.1.2. Axes du repère de l’espace
Soit $M$ le point de coordonnées $(t,0,0)$. Quelles sont ses coordonnées si :
- $t=0$ ?
- $t=1$ ?
- $t=2$ ?
- $t=-1$ ?
- $t=-2$ ?
- $t=\frac{1}{2}$ ?
Mêmes questions si $M$ a pour coordonnées $(0;t;0)$, puis $(0;0;t)$ ?
Mêmes questions si $M$ a pour coordonnées $(2t;0;0)$, puis $(0;2t;0)$, puis $(0;0;2t)$ ?
Mêmes questions si $M$ a pour coordonnées $(-t;0;0)$, puis $(0;-t;0)$, puis $(0;0;-t)$ ?
2.1.3. D’autres droites
Mêmes questions si $M$ a pour coordonnées $(t;t;t)$, puis $(t;t;0)$, puis $(t;0;t)$, puis $(0;t;t)$ ?
Mêmes questions si $M$ a pour coordonnées $(1+t;t;t)$, puis $(1+t;t;0)$, puis $(1+t;0;t)$, puis $(1;t;t)$ ?
Mêmes questions si $M$ a pour coordonnées $(1+t;2+t;3+t)$, puis $(1+t;2+t;3)$, puis $(1+t;2;3+t)$, puis $(1;2+t;3+t)$ ?
Que se passerait-il si on remplaçait $t$ par $2t$ ou $-t$ ?
2.2. Généralisation
$M$ peut être considéré comme un mobile (comme en mécanique) qui se déplace sur la droite $d$ en fonction de la variable temporelle $t$.
On définit les points $A$ et $B$ par :
- quand $t=0$, $M$ est en $A$,
- quand $t=1$, $M$ est en $B$.
On remarque que $A$ est un point de $d$ et que $\vec {AB}$ dirige $d$. Si on note les coordonnées ainsi :
- $M(x; y; z)$,
- $A(x_0; y_0; z_0)$,
- $\vec {AB}(a; b; c)$,
on a alors $\vec{OM} = \vec{OA} + \vec{AM} = \vec{OA} + t×\vec{AB}$, c'est-à-dire, avec les coordonnées :
$$ \left ( \begin{array}{l} x \\\\ y \\\\ z \end{array} \right) = \left ( \begin{array}{l} x_0 \\\\ y_0 \\\\ z_0 \end{array} \right) + t × \left ( \begin{array}{l} a \\\\ b \\\\ c \end{array} \right) = \left ( \begin{array}{l} x_0 + ta \\\\ y_0 + tb \\\\ z_0 + tc \end{array} \right) $$
2.3. Définition
La droite $d$ est définie par le point $A(x_0; y_0; z_0)$ et un vecteur $\vec u (a;b;c)$.
On appelle représentation paramétrique de $d$ le système suivant :
$$ \left \{ \begin{array}{l} x = x_0 + ta \\\\ y = y_0 + tb \\\\ z = z_0 + tc \end{array} \right. \ \text{où}\ t\ \text{décrit l’ensemble des réels}$$
Remarques : on peut aussi écrire :
$$d = \left\{M(x_0 + ta; y_0 + tb; z_0 + tc); t \in \mathbb R \right\}$$
3. Représentation paramétrique d’un plan
3.1. Sur des exemples
$M(s, t, 0)$, $M(s, 0, t)$, $M(0, s, t)$…
3.2. Définition
3.3. Remarques
- Un plan est défini par un point et deux vecteurs non colinéaires.
- Si on utilise le même couple de vecteurs pour un autre plan, cet autre plan lui est parallèle.
4. Coplanarité
4.1. De vecteurs
4.1.1. Définition
4.1.2. Remarques
Sens que pour 3 vecteurs.
4.1.3. Critère
4.1.4. Repères
Décomposition selon trois vecteurs
4.2. De points
4.2.1. Remarques
Sens que pour 4 points.
5. Produit scalaire
Attention, besoin repère orthonormé. Avant dans ce chapitre, pas forcément besoin.
5.1. Définition
5.2. Propriétés
5.3. Vecteur orthogonal à un plan
5.3.1. Définition
5.3.2. Critère
5.4. Équation cartésienne d’un plan
5.4.1. Vecteur normal -> eq
5.4.2. Eq -> vecteur normal
- 2 ROCS! (ax+by+cz=0 et orth à un plan <=> orth à deux de ses droites, sécantes
???
5.4.3. Propriété
Si $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs de l’espace et $\alpha$ et $\beta$ deux réels quelconques, alors on peut choisir des représentants dans un même plan de $\vec u$, $\vec v$ et $\vec w = \alpha \vec u + \beta \vec v$.
Remarque : C’est un peu comme si on disait :
Deux points ainsi que tout point sur la droite qu’ils définissent sont alignés.
5.4.4. Propriété
Si $O$ est un point de l’espace et $\vec i$ et $\vec j$ deux vecteurs non colinéaires de l’espace, alors il existe un unique plan $P$ contenant :
- le point $O$,
- une droite ayant pour vecteur directeur $\vec i$,
- une droite ayant pour vecteur directeur $\vec j$.
Le triplet $(O, \vec i, \vec j)$ est alors un repère du plan $P$.
Remarque : Propriété équivalente à la définition d’un plan par deux droites sécantes (un point et deux directions).
5.4.5. Propriété
Deux plans définis par le même couple $(\vec i, \vec j)$ de vecteurs non colinéaires sont parallèles.
Remarque : on dira aussi qu’ils ont la même direction. Le mot direction ayant un sens plus large que quand il est utilisé dans le langage courant.
5.5. Vecteurs coplanaires et repères de l’espace
5.5.1. Définition
Trois vecteurs sont dits coplanaires s’ils possèdent un représentant dans un même plan.
5.5.2. Théorème
Tout vecteur de l’espace peut se décomposer suivant trois vecteurs non coplanaires.
5.5.3. Propriété
Si $O$ est un point de l’espace et $\vec i$, $\vec j$ et $\vec k$ sont trois vecteurs non coplanaires, alors le quadruplet $(O; \vec i; \vec j; \vec k)$ est un repère de l’espace.
La troisième coordonnée s’appelle la cote. Si l’axe correspondant est représenté vertical et orienté vers le haut, alors on peut aussi parler de hauteur ou d’altitude.