Produit scalaire dans l’espace

Théorème

Pour qu’une droite soit orthogonale à un plan $\mathscr P$, il suffit qu’elle soit orthogonale à deux droites sécantes de $\mathscr P$.

Démonstration

Soit une droite $\mathscr D$, orthogonale à deux droites sécantes $\mathscr D_1$ et $\mathscr D_2$ du plan $\mathscr P$. On choisit des vecteurs directeurs pour ces trois droites, respectivement $\vec n$, $\vec u$ et $\vec v$. On a donc $ \vec n . \vec u = \vec n . \vec v = 0 $.

Pour montrer que $\mathscr D$ est orthogonale à $\mathscr P$, il faut montrer qu’elle est orthogonale à toute droite de $\mathscr P$. Soit donc une droite quelconque de $\mathscr P$, notée $\mathscr D'$.

Soit $\vec w$ un vecteur directeur de $\mathscr D'$. Comme $\mathscr D'$ est incluse dans $\mathscr P$, $\vec w$ peut être représenté dans $\mathscr P$, et peut donc se décomposer en combinaison des deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$. Ainsi, il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que :

$$ \vec w = \alpha \vec u + \beta \vec v $$

Pour montrer $\mathscr D \perp \mathscr D'$, on montre que le produit scalaire de leur vecteur directeur est nul :

$$ \begin{aligned} \vec n . \vec w &= \vec n . \left( \alpha \vec u + \beta \vec v \right) \\ &= \vec n . \left( \alpha \vec u \right) + \vec n . \left( \beta \vec v \right) \\ &= \alpha \vec n . \vec u + \beta \vec n . \vec v \\ &= \alpha × 0 + \beta × 0 \\ &= 0 \\ \end{aligned} $$