1. Introduction

Dans ce chapitre, on s’intéresse à une population dont un certain caractère apparaît avec une proportion $p$ (que l’on peut appeler la probabilité de succès). Deux cas d’étude se présentent :

• test (ou priste de décision, validation) : $p$ est supposée connue,
• estimation : $p$ est inconnue.

On extrait de cette population un échantillon de taille $n$ et on compte le nombre de succès pour calculer la fréquence observée $f_{obs}$.

• Pour le test, la probabilité que $f_{obs}$ soit dans un certain intervalle nous permettra de dire par exemple si l’échantillon est représentatif ou non, c’est-à-dire si la valeur de $f_obs$ semble correspondre à $p$.
• Pour l’estimation, nous pourrons dire que la valeur théorique $p$ se situe avec une certaine probabilité dans un certain intervalle (donc une probabilité concernant une probabilité).

De plus, lorsque vous verrez CERTAINES CONDITIONS, cela signifiera que les conditions d’approximation d’une loi binomiale par une loi normale doivent être respectées :

• $n \ge 30$,
• $np \ge 5$ et $n(1-p) \ge 5$.

Remarques :

• Un échantillon peut tout de même être assez petit (10 éléments), mais on pourra remarquer que les conditions ne sont pas respectées.
• Les sondages les plus sérieux échantillonnent sur 10 000 personnes.
• $n$ doit être assez grand, mais pas trop. Il ne doit pas représenter un dixième de la population totale, afin de pouvoir négliger certains effets (pour pouvoir assimiler cet échantillon à un échantillon aléatoire non exhaustif). Cette condition ne sera pas évoquée dans les exercices.

2. Variable aléatoire fréquence

2.1. Notations

Soit $X_n$ (ou plus simplement $X$ s’il n’y a pas ambiguïté) la variable aléatoire qui à tout échantillon de taille $n$ associe le nombre d’individus présentant le caractère étudié. Elle suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.

2.2. Définition

La variable aléatoire $F_n$ (ou plus simplement $F$) définie par $F = \frac{X}{n}$ est appelée variable aléatoire fréquence.

Remarques :

• Comme $X$ prend des valeurs entières entre $0$ et $n$, $F$ prend ses valeurs dans $\{0, \frac{1}{n}, \frac{2}{n}, … \frac{n-1}{n}, 1\}$.
• $F$ suit une loi binomiale uniquement si $n = 1$. Mais comme ce n’est quasiment jamais le cas, on peut dire que $F$ ne suit pas une loi binomiale.
• Néammoins, elle a des propriétés similaires (voir propriétés suivantes).

2.3. Propriétés

2.3.1. Espérance et écart-type

$$ \begin{aligned} E(F) &= p \\ \sigma (F) &= \frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n} \\ \end{aligned} $$

Démonstration :

$$ \begin{aligned} E(F) &\overset{(1)}{=} E\left(\frac{1}{n} X\right) \overset{(2)}{=} \frac{1}{n}E(X) \overset{(3)}{=} \frac{1}{n} × np = p \\ V(F) &\overset{(1)}{=} V\left(\frac{1}{n} X\right) \overset{(2)}{=} \frac{1}{n^2}V(X) \overset{(3)}{=} \frac{1}{n^2} × np(1-p) = \frac{p(1-p)}{n} \\ \end{aligned} $$

1. Définition de $F$.
2. Propriété de l’espérance et de la variance des lois de probabilité discrètes, il suffit de factoriser par $\frac{1}{n}$ dans $p_1 \frac{x_1}{n} + p_2 \frac{x_2}{n}…$, et de même dans $p_1 \left(\frac{x_1}{n} - \frac{\mu}{n}\right)^2 + p_2 \left(\frac{x_2}{n} - \frac{\mu}{n}\right)^2…$, sauf que c’est $\frac{1}{n^2}$ qui sort.
3. $X$ suit la loi binomiale $\mathscr B (n,p)$.

2.3.2. Approximation par une loi normale

Sous CERTAINES CONDITIONS, $F$ peut être approchée par la loi normale de même espérance et de même variance (soit de paramètres $p$ et $\frac{p(1-p)}{n}$).

Démonstration : On utilise le théorême de Moivre-Laplace en considérant la variable aléatoire $\frac{F - E(F)}{\sigma (F)}$. On a :

$$ \frac{F - E(F)}{\sigma (F)} = … = \frac{X - np}{\sqrt{np(1-p)}} $$

Pour plus de détails, voir la démonstration à savoir (ROC) plus bas.

3. Intervalles de fluctuation asymptotique

Dans cette partie, on suppose $p$ connue.

3.1. Définition

Pour tout réel $\alpha$ dans $]0;1[$, un intervalle de fluctuation asymptotique de la variable $F$ au seuil $1 - \alpha$ est un intervalle déterminé à partir de $p$ et $n$ qui contient $F$ avec une probabilité d’autant plus proche de $1 - \alpha$ que $n$ est grand.

Autrement dit, si on note $I_n$ un tel intervalle (qui dépend en fait aussi de $p$ et de $\alpha$),

$$ \lim\limits_{n \to +\infty} P(F \in I_n) = 1 - \alpha $$

3.2. Remarques

• Le $p$ représente bien la probabilité de succès $p$ évoquée en introduction.
• Pour $p$, $n$ et $\alpha$ donnés, cet intervalle n’est pas unique. De tels intervalles ont par exemple été vus en seconde et en première, et un autre sera vu plus loin.
• En revanche, l’utilisation de l’article défini désignera le théorème vu plus loin.

3.3. Rappels

3.3.1. De seconde

Sans le dire, nous étudiions déjà des schémas de Bernouilli de paramètres $n$ et $p$, et nous définissions l’intervalle de fluctuation au seuil de 95% ainsi :

Si $n \ge 25$ et si $0,2 \le p \le 0,8$, la fréquence $f$ d’apparition du succès appartient à l’intervalle $\left[ p - \frac{1}{\sqrt n} ; p + \frac{1}{\sqrt n} \right]$ pour environ 95% des échantillons.

3.3.2. De première

Ayant défini les variables aléatoires et la loi binomiale, nous disions :

L’intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence $f$ est l’intervalle $\left[ \frac{a}{n} ; \frac{b}{n} \right]$ où :

• $a$ est le plus petit entier tel que $P(X \le a) > 0,025$,
• $b$ est le plus petit entier tel que $P(X \le b) > 0,975$.

Le cours de terminale permettra de parler de limite quand $n$ tend vers l’infini.

3.4. Théorème

/!\ ROC

Pour tout réel $\alpha$ dans $]0;1[$, il existe un unique réel strictement positif $u_\alpha$ tel que, en notant :

$$ I_n = \left[ p - u_\alpha \frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n} ; p + u_\alpha \frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n} \right] $$

on ait : $ \lim\limits_{n \to +\infty} P(F \in I_n) = 1 - \alpha $

Autrement dit, $I_n$ est un intervalle de fluctuation asymptotique. On l’appelle même l’intervalle de fluctuation asymptotique (avec un article défini).

Démonstration

On rappelle les notations du chapitre :

• $X_n$ suit $\mathscr B (n,p)$,
• $F_n$ est la variable aléatoire fréquence associée à $X_n$ : $F_n = \frac{X_n}{n}$.
• pour $x \in \mathbb R$, $\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$

On définit une nouvelle variable aléatoire $Z_n$ par :

$$ Z_n = \frac{X_n - np}{\sqrt{np(1-p)}} $$

D’après le théorème de Moivre-Laplace, on a pour tous réels $a$ et $b$ tels que $a < b$ :

$$ \lim\limits_{n \to +\infty} P\left(a \le Z_n \le b\right) = \int_a^b \phi(x)~dx $$

Or $Z_n$ peut s’exprimer en fonction de $F_n$ :

$$ \begin{aligned} Z_n &= \frac{X_n - np}{\sqrt{np(1-p)}} \\ &= \frac{n \left( \frac{X_n}{n} - p \right)}{\sqrt{n} × \sqrt{p(1-p)}} \\ &= \frac{F_n - p}{\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n}} \\ \end{aligned} $$

On peut donc exprimer la chaîne d’inégalités ainsi :

$$ \begin{array}{ccccccc} a \le Z_n \le b & ⇔ & a & \le & \frac{F_n - p}{\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n}} & \le & b \\ & ⇔ & a × \frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n} & \le & F_n - p & \le & b × \frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n} \\ & ⇔ & p + a × \frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n} & \le & F_n & \le & p + b × \frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n} \\ \end{array} $$

D’après un autre théorème important vu au chapitre précédent, il existe un unique réel strictement positif $u_\alpha$ tel que $\int_{-u_\alpha}^{u_\alpha} \phi(x)~dx = 1 - \alpha$, donc il suffit de prendre $a = -u_\alpha$ et $b = u_\alpha$ pour obtenir finalement :

$$ \begin{aligned} \lim\limits_{n \to +\infty} P(F \in I_n) &= \lim\limits_{n \to +\infty} P(-u_\alpha \le Z_n \le u_\alpha) \\ &= 1 - \alpha \\ \end{aligned} $$

3.5. Définition

Pour $\alpha = 0,05$; on a : $1 - 0,05 = 0,95 = 95\%$, et $u_\alpha \approx 1,96$.

L’intervalle suivant :

$$\left[p - 1,96 × \frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n} ; p + 1,96 × \frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n}\right]$$

sera appelé « l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 » de la variable aléatoire fréquence.

3.6. Comparaisons avec les intervalles précédents

Cet intervalle est inclus dans celui de seconde car pour tout réel $p$ compris entre 0 et 1, $1,96 × \sqrt{p(1-p)} \le 1$ (à savoir vérifier en terminale !).

Celui de première peut ne pas être centré, contrairement à ceux de seconde et de terminale qui le sont toujours.

3.7. Prise de décision (ou test)

On considère l’hypothèse suivante : « on connaît $p$ ».

• Si $f_{obs} \notin I$, alors on rejette l’hypothèse. Dans ce cas, la probabilité de s’être trompé vaut $\alpha$.
• Si $f_{obs} \in I$, alors on ne rejette pas cette hypothèse.

Remarque : on ne dira pas « on accepte » l’hypothèse, car personne ne peut la vérifier.

4. Estimation

On supposera ici que $p$ est inconnue.

4.1. Définition

Pour tout réel $\alpha$ de $\left]0;1\right[$, un intervalle de confiance pour une propostion $p$ au niveau de confiance $1-\alpha$ est un intervalle construit à partir d’un échantillon. Cet intervalle est aléatoire et contient $p$ avec une probabilité supérieure ou égale à $1-\alpha$.

Remarque : Cet intervalle n’est pas unique, même si $\alpha$ est fixé. On utilise en général l’article indéfini « un ».

4.2. Propriété

L’intervalle de confiance au niveau de confiance 95% est l’intervalle défini par : $$\left[ f_{obs} - \frac{1}{\sqrt n} ; f_{obs} + \frac{1}{\sqrt n} \right]$$

Remarques :

• Ici encore, cet intervalle n’est pas unique, mais sa méthode de construction l’est. On utilisera l’article défini « le ».
• Il y a un compromis à faire entre le pourcentage d’erreur et la taille de l’intervalle :
  • si on veut une petite erreur, l’intervalle de confiance va s’élargir ;
  • si on veut un petit intervalle de confiance, la probabiliter de se tromper va croître.