1. Introduction

Cette série de questions autour des trajets d’un ascenseur plonge le lecteur dans une représentation simpliste du théorème des valeurs intermédiaires.

En aucun cas elle ne constitue une explication ou une démonstration.

En terminale S, la situation est paradoxale. D’une part, on explique que ce théorème est simple à comprendre, qu’il suffit de relier deux points sans lever le crayon. Mais d’autre part, ce théorème est admis car sa démonstration repose sur la structure des réels, qui est hors-programme.

2. Activité

2.1. Première Étape

2.1.1. Situation

Vous prenez l’ascenseur au deuxième étage. Vous fermez les yeux jusqu’à votre arrivée au douzième étage, vingt secondes plus tard.

2.1.2. Questions

1. À quel moment environ l’ascenseur était-il au septième étage ? Justifier.
2. L’ascenseur est-il passé par le troisième étage ? le huitième ? Justifier.
3. L’ascenseur est-il passé par le treizième étage ? Justifier.

2.2. Deuxième étape

2.2.1. Situation

Le lendemain, vous prenez l’ascenseur au deuxième étage. De même, vous gardez vos yeux fermés, mais une autre personne monte à un autre étage que le deuxième. Vous continuez à garder les yeux fermés. À un moment donné, la personne descend. Une minute après, vous arrivez au douzième étage, où vous ouvrez les yeux.

2.2.2. Questions

1. L’ascenseur est-il passé par le septième étage ? Justifier.
2. L’ascenseur est-il passé par le treizième étage ? Justifier.
3. Quel est l’étage le plus haut par lequel est passé l’ascenseur après la descente de la personne, c’est-à-dire pendant la dernière minute ? L’étage le plus bas ? Est-ce garanti ? Justifier.

2.3. Troisième étape

2.3.1. Situation

Le jour suivant, même histoire, sauf que vous trichez et ouvrez les yeux pour observer que la personne descend au quinzième étage. Comme précédemment, tout ceci dure une minute.

2.3.2. Questions

1. L’ascenseur est-il passé par le septième étage ? Justifier.
2. L’ascenseur est-il passé par le treizième étage ? Justifier.
3. Établir une liste de tous les étages auxquels l’ascenseur aurait pu s’arrêter pendant la dernière minute.
4. Pouvez-vous garantir que l’ascenseur n’est jamais passé par le dix-septième étage ?

3. Références

• Article fondateur d’Evan Weinberg (en anglais) : http://evanweinberg.com/2013/09/25/intermediate-value-theorem-elevators/
• Réflexions autour de l’enseignement du TVI (pdf en anglais) : http://www.math.uga.edu/~pete/Walk11.pdf