Limites de suites, exemples et contre-exemples
1. Les petits tableaux
Nous allons illustrer l’idée que les notions suivantes sont indépendantes pour chaque point :
- « est croissante » et « tend vers l’infini » ;
- « est croissante » et « est non majorée » ;
- « est non majorée » et « tend vers l’infini ».
Dans chacune des quatre cases des trois tableaux ci-dessous, trouver au moins un exemple de suite.
1.1. Variations et limites
| tend vers $+\infty$ | ne tend pas vers $+\infty$ | |
| croissante | ||
| non croissante |
1.2. Variations et majoration
| majorée | non majorée | |
| croissante | ||
| non croissante |
1.3. Majoration et limite
| majorée | non majorée | |
| tend vers $+\infty$ | ||
| ne tend pas vers $+\infty$ |
2. Le grand tableau
Pour chaque case du tableau, trouver une suite qui convient aux deux conditions (en ligne et en colonne). Si jamais ce n’est pas possible, expliquer pourquoi. Les exemples minimaux sont bien sûr les meilleurs.
Notez que la diagonale principale correspond à une seule condition et constitue comme un rappel de cours. D’autre part, les cases A2 et B1 correspondent à deux conditions identiques. Vous ne traiterez donc que les cases qui se situent sous la diagonale principale, et dans l’ordre (A1, A2, A3… A19, A20, B2, B3… B19, B20, C3, C4… S20, T20).
| A Majorée | B Non majorée | C (voir l.3) | …
------------------------------+-----------+---------------+--------------+---
1 | Majorée | | | |
2 | Non majorée | | | |
3 | Minorée | | | |
4 | Non minorée | | | |
5 | Bornée | | | |
6 | Non bornée | | | |
7 | Croissante | | | |
8 | Non croissante | | | |
9 | Décroissante | | | |
10 | Non décroissante | | | |
11 | Tend vers +oo | | | |
12 | Ne tend pas vers +oo | | | |
13 | Tend vers -oo | | | |
14 | Ne tend pas vers -oo | | | |
15 | Converge | | | |
16 | Ne converge pas | | | |
17 | Diverge | | | |
18 | Ne diverge pas | | | |
19 | Croissante et majorée | | | |
20 | Décroissante et minorée | | | |
3. Autres contre-exemples
Trouver une suite $(u_n)$ vérifiant $\lim\limits_{n \to +\infty} (u_{n+1} - u_n) = 0$, mais qui ne converge pas.