blog.xxxx-xx-xx.reponse reciproque d une composee

Je bloque sur une question qui pousse a la reflexion,

C’est ce que doivent faire les meilleures questions!

Soient f et g deux bijection de R vers R, prouver que l'application g°f ( g rond f ) est aussi une bijection et que son application réciproque est f^{(-1) ° g}(-1). ( f-1 rond g-1 ).

Tout est dans la définition d’une bijection et dans la deuxième ligne de ce schéma (le o est le rond, et f¹ est f^(-1):

x ---f---> f(x) ---g---> gof(x) f¹og¹(y) <---f--- g¹(y) <---g--- y

Tout y a un unique antécédent par g, et tout antécédent par g a, à son tour, un unique antécédent par f. f¹og¹(y) est l’unique antécédent de y par gof. Reste à rédiger ça proprement.

On pourrait lire la dernière ligne à l’envers: f¹og¹(y) <---f--- g¹(y) <---g--- y (qui au passage méritait des ¹: f¹og¹(y) <---f¹--- g¹(y) <---g¹--- y) devient y ---g¹---> g¹(y) ---f¹---> f¹og¹(y)=f¹(g¹(y))

En fait ce que vous cherchez c’est, pour tout réel y, un antécédent par gof. Prenez f¹(g¹(y)) pour voir.