Date: Sun Apr 13 14:14:42 2014 +0200
Cours TS: Restructuration du cours de géométrie dans l’espace vectorielle.
diff --git a/input/TS-13-Geometrie_vectorielle_dans_lespace_1.md b/input/TS-13-Geometrie_vectorielle_dans_lespace_1.md
index a3d41b7..54ae4fb 100644
@@ -2,6 +2,8 @@ Title: Géométrie vectorielle dans l’espace
Assets: mathjax
Status: in progress
+[TOC]
+
Vecteurs de l’espace
@@ -20,62 +22,17 @@ le plan. Citons brièvement :
* relation de Chasles,
* …
-### Propriété
-
-Si $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs de l’espace et $\alpha$ et $\beta$
-deux réels quelconques, alors on peut choisir des représentants dans un même
-plan de $\vec u$, $\vec v$ et $\vec w = \alpha \vec u + \beta \vec v$.
-
-**Remarque** : C’est un peu comme si on disait :
-
-> Deux points ainsi que tout point sur la droite qu’ils définissent sont alignés.
-
-### Propriété
-
-Si $O$ est un point de l’espace et $\vec i$ et $\vec j$ deux vecteurs non
-colinéaires de l’espace, alors il existe un unique plan $P$ contenant :
-
-* le point $O$,
-* une droite ayant pour vecteur directeur $\vec i$,
-* une droite ayant pour vecteur directeur $\vec j$.
-
-Le triplet $(O, \vec i, \vec j)$ est alors un repère du plan $P$.
-
-**Remarque** : Propriété équivalente à la définition d’un plan par deux
-droites sécantes (un point et deux directions).
-
-### Propriété
-
-Deux plans définis par le même couple $(\vec i, \vec j)$ de vecteurs non
-colinéaires sont parallèles.
-
-**Remarque** : on dira aussi qu’ils ont la même *direction*. Le mot
-*direction* ayant un sens plus large que quand il est utilisé dans le langage
-courant.
-
-Vecteurs coplanaires et repères de l’espace
+Le critère de la colinéarité utilisant le produit en croix ne peut s’appliquer
+avec trois coordonnées. Il faut résoudre le système avec $k$.
-### Définition
-
-Trois vecteurs sont dits *coplanaires* s’ils possèdent un représentant dans un
-même plan.
-
-### Théorème
-
-Tout vecteur de l’espace peut se décomposer suivant trois vecteurs non
-coplanaires.
-
-### Propriété
-
-Si $O$ est un point de l’espace et $\vec i$, $\vec j$ et $\vec k$ sont trois
-vecteurs non coplanaires, alors le quadruplet $(O; \vec i; \vec j; \vec k)$
-est un repère de l’espace.
+Des propriétés supplémentaires seront vues plus loin au fur et à mesure de nos
+besoins.
Représentation paramétrique d’une droite
-On munit l’espace du repère $(0; \vec i; \vec j; \vec k)$.
+On munit l’espace du repère $(0; \vec i; \vec j; \vec k)$. Les repères de
+l’espace seront étudiés plus rigoureusement un peu plus loin.
<!-- TODO: jsxgraph avec curseur -->
@@ -196,4 +153,124 @@ $$d = \left\{M(x_0 + ta; y_0 + tb; z_0 + tc); t \in \mathbb R \right\}$$
Représentation paramétrique d’un plan
-Bientôt…
+Sur des exemples
+----------------
+
+$M(s, t, 0)$, $M(s, 0, t)$, $M(0, s, t)$…
+
+Définition
+----------
+
+Remarques
+---------
+
+* Un plan est défini par un point et deux vecteurs non colinéaires.
+* Si on utilise le même couple de vecteurs pour un autre plan, cet autre plan
+ lui est parallèle.
+
+Coplanarité
+===========
+
+De vecteurs
+-----------
+
+### Définition
+
+### Remarques
+
+Sens que pour 3 vecteurs.
+
+### Critère
+
+### Repères
+
+Décomposition selon trois vecteurs
+
+De points
+---------
+
+### Remarques
+
+Sens que pour 4 points.
+
+Produit scalaire
+================
+
+Attention, besoin repère orthonormé.
+Avant dans ce chapitre, pas forcément besoin.
+
+Définition
+----------
+
+Propriétés
+----------
+
+Vecteur orthogonal à un plan
+----------------------------
+
+### Définition
+
+### Critère
+
+Équation cartésienne d’un plan
+------------------------------
+
+### Vecteur normal -> eq
+
+### Eq -> vecteur normal
+
++ 2 ROCS! (ax+by+cz=0 et orth à un plan <=> orth à deux de ses droites, sécantes
+
+???
+
+### Propriété
+
+Si $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs de l’espace et $\alpha$ et $\beta$
+deux réels quelconques, alors on peut choisir des représentants dans un même
+plan de $\vec u$, $\vec v$ et $\vec w = \alpha \vec u + \beta \vec v$.
+
+**Remarque** : C’est un peu comme si on disait :
+
+> Deux points ainsi que tout point sur la droite qu’ils définissent sont alignés.
+
+### Propriété
+
+Si $O$ est un point de l’espace et $\vec i$ et $\vec j$ deux vecteurs non
+colinéaires de l’espace, alors il existe un unique plan $P$ contenant :
+
+* le point $O$,
+* une droite ayant pour vecteur directeur $\vec i$,
+* une droite ayant pour vecteur directeur $\vec j$.
+
+Le triplet $(O, \vec i, \vec j)$ est alors un repère du plan $P$.
+
+**Remarque** : Propriété équivalente à la définition d’un plan par deux
+droites sécantes (un point et deux directions).
+
+### Propriété
+
+Deux plans définis par le même couple $(\vec i, \vec j)$ de vecteurs non
+colinéaires sont parallèles.
+
+**Remarque** : on dira aussi qu’ils ont la même *direction*. Le mot
+*direction* ayant un sens plus large que quand il est utilisé dans le langage
+courant.
+
+Vecteurs coplanaires et repères de l’espace
+-------------------------------------------
+
+### Définition
+
+Trois vecteurs sont dits *coplanaires* s’ils possèdent un représentant dans un
+même plan.
+
+### Théorème
+
+Tout vecteur de l’espace peut se décomposer suivant trois vecteurs non
+coplanaires.
+
+### Propriété
+
+Si $O$ est un point de l’espace et $\vec i$, $\vec j$ et $\vec k$ sont trois
+vecteurs non coplanaires, alors le quadruplet $(O; \vec i; \vec j; \vec k)$
+est un repère de l’espace.
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