Date: Sun Mar 5 16:01:49 2017 +0100
Th des ensembles suite à la séance
diff --git a/input/BTS-SIO2-U21-11_Theorie_des_ensembles.md b/input/BTS-SIO2-U21-11_Theorie_des_ensembles.md
index 7652130..8af4291 100644
@@ -164,7 +164,9 @@ Si $M$ est un point, $D$ une droite et $P$ un plan, on peut écrire :
### Complication avec les ensembles d’ensembles
On note $\mathscr P (E)$ l’ensemble des parties de $E$, c’est-à-dire
-l’ensemble composé de tous les sous-ensembles de $E$.
+l’ensemble composé de tous les sous-ensembles de $E$. On a :
+
+$$ A \in \mathscr P (E) \Leftrightarrow A \subset E $$
**Exemple** : Trouvez tous les sous-ensembles de $\left\{ 1; 2; 3\right\}$.
@@ -184,7 +186,7 @@ Un ensemble à $n$ éléments a $2^n$ parties.
## Définition
-Le produit cartésien de deux ensembles $E$ et $F$ est l’ensemble de tous les
+Le *produit cartésien* de deux ensembles $E$ et $F$ est l’ensemble de tous les
couples $(x,y)$ (dans cet ordre) tels que $x \in E$ et $y \in F$.
On note :
@@ -193,6 +195,8 @@ $$E×F = \left\{ (x,y), x \in E \wedge y \in F \right\}$$
On prononce : « E croix F ».
+**Notation** : Si $E=F$, on note $E×E=E^2$.
+
## Exemples
* Si $E = \left\{ \text{Amédé}, \text{Basile} \right\}$ et
@@ -211,12 +215,12 @@ $n$-uplets, ou *tuples*.
## Cardinal du produit cartésien
-Le cardinal du produit de deux ensembles est le produit des cardinaux de ces
-ensembles.
+Le cardinal du produit cartésien de deux ensembles est le produit des cardinaux
+de ces ensembles.
$$\mathbf{card}(E×F) = \mathbf{card}(E) × \mathbf{card}(F)$$
-Cette formule se généralise au produit de plusieurs ensembles.
+Cette formule se généralise au produit cartésien de plusieurs ensembles.
**Attention** : le sens des mots « produit » peuvent être différents (produit
d’ensembles, produit de nombres). Idem pour les symboles « × ».
@@ -235,7 +239,17 @@ la donnée de :
Pour $x \in E$ et $y \in F$, $x \mathscr R y$ signifie $(x,y) \in G$.
-Cette année, nous aurons toujours $E=F$.
+Cette année, nous aurons toujours $E=F$, c’est-à-dire :
+
+Une *relation binaire* $\mathscr R$ sur un ensemble $E$ est la donnée de :
+
+* l’ensemble $E$,
+* une partie (un sous-ensemble) noté $G$ ou $\Gamma$ de $E×E$, appelée le
+ *graphe de* $\mathscr R$.
+
+Pour $x \in E$ et $y \in F$, $x \mathscr R y$ signifie $(x,y) \in G$.
+
+C’est donc très similaire aux graphes.
## Sur l’exemple
@@ -283,18 +297,18 @@ Représentez chacun des exemples suivants avec :
Les exemples classiques :
-* Égalité dans $E$ :
- $x \mathscr R y \Leftrightarrow x=y$
-* Inégalité large dans $\mathbb R$ :
- $x \mathscr R y \Leftrightarrow x \ge y$
-* Inégalité stricte dans $\mathbb R$ :
- $x \mathscr R y \Leftrightarrow x < y$
-* Divisibilité dans $\mathbb N ^*$ :
- $x \mathscr R y \Leftrightarrow x ~\text{divise}~ y$
-* Congruence dans $\mathbb N ^*$ :
- $x \mathscr R y \Leftrightarrow x \equiv y [n]$
-* Si $P$ est un plan géométrique et $E = \mathscr P (P)$ (ensembles de $P$),
- $A \mathscr R B \Leftrightarrow A \subset B$
+1. Égalité dans $E$ :
+ $x \mathscr R y \Leftrightarrow x=y$
+1. Inégalité large dans $\mathbb R$ :
+ $x \mathscr R y \Leftrightarrow x \ge y$
+1. Inégalité stricte dans $\mathbb R$ :
+ $x \mathscr R y \Leftrightarrow x < y$
+1. Divisibilité dans $\mathbb N ^*$ :
+ $x \mathscr R y \Leftrightarrow x ~\text{divise}~ y$
+1. Congruence dans $\mathbb N ^*$ :
+ $x \mathscr R y \Leftrightarrow x \equiv y [n]$
+1. Si $P$ est un plan géométrique et $E = \mathscr P (P)$ (ensembles de $P$),
+ $A \mathscr R B \Leftrightarrow A \subset B$
## Propriétés des relations binaires
@@ -320,14 +334,19 @@ Parmi les exemples précédents, seules $=$ et $\equiv$ le sont.
$\mathscr R$ est dite *antisymétrique* si
$\forall (x,y) \in E^2,
- \left( x \mathscr R y \right) \vee \left( y \mathscr R x \right) \Rightarrow
+ \left( x \mathscr R y \right) \wedge \left( y \mathscr R x \right) \Rightarrow
x = y$.
Autrement dit, si deux éléments sont en relation dans les deux sens, alors
c’était en fait le même élément.
-Parmi les exemples précédents, seule $\equiv$ ne l’est pas. En effet,
-$1 \equiv 8 [7]$ et $8 \equiv 1 [7]$, mais $1 \neq 8$.
+Parmi les exemples précédents, $<$ et $\equiv$ ne le sont pas.
+
+En effet, cela n’a pas vraiment de sens pour $<$ et on peut trouver des
+contre-exemples pour $\equiv$.
+
+{- spoiler("Un contre-exemple",
+ r"""$1 \equiv 8 [7]$ et $8 \equiv 1 [7]$, mais $1 \neq 8$.""") }}
D’un autre côté, $\ge$ l’est car si $x \ge y$ et $y \ge x$, alors $x=y$.
Démontrez que $\subset$ l’est aussi.
@@ -336,7 +355,7 @@ Démontrez que $\subset$ l’est aussi.
$\mathscr R$ est dite *transitive* si
$\forall (x,y,z) \in E^3,
-\left( x \mathscr R y \right) \vee \left( y \mathscr R z \right) \Rightarrow
+\left( x \mathscr R y \right) \wedge \left( y \mathscr R z \right) \Rightarrow
x \mathscr R z$.
Autrement dit, si un premier élément est en relation avec un deuxième, et si
