tite fractale

Suites (1/2)

1. Rappels

Tempête cérébrale : qu’est-ce que le mot suite vous évoque ?

infini, indice et rang, variations…

Pour la culture, voir l’OEIS.

1.1. Notations

Il y a plusieurs façons de nommer une suite, et l’on peut passer de l’une à l’autre assez librement.

Soit $u$ une suite et $u_n$ son terme d’indice (ou de rang) $n$.

Il y a, de plus, au moins deux façons de définir une suite à partir d’une fonction réelle $f$ :

Schémas :

1.2. Majorants, minorants, bornes

1.2.1. Définition : suite majorée

Une suite $u$ est majorée lorsque tous ses termes sont inférieurs à une même constante généralement notée $M$ appelée majorant.

Ainsi pour tout indice $n$, $u_n \le M$.

ditaa diagram

1.2.1.1. Remarques

1.2.1.2. Exemples et contre-exemples

1.2.2. Définition : suite minorée

Une suite $u$ est minorée lorsque tous ses termes sont supérieurs à une même constante généralement notée $m$ appelée minorant.

Ainsi pour tout indice $n$, $u_n \ge m$.

ditaa diagram

On peut facilement adapter les remarques et les exemples des suites majorées aux suites minorées.

1.2.3. Définition : suite bornée

Une suite est bornée si elle est à la fois minorée et majorée. Ainsi pour tout indice $n$, $m \le u_n \le M$.

1.2.3.1. Exemple et remarque

1.3. Variations

1.3.1. Définitions

1.3.1.1. Remarques

1.3.1.2. Exemples

1.4. Suites résultant de l’échantillonnage d’une fonction

1.4.1. Définition

On dit que la suite $u$ résulte de l’échantillonnage d’une fonction s’il existe une fonction $f$ de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ telle que pour tout indice $n$, $u_n = f(n)$.

On dit aussi que $f$ est la fonction dont la suite $u$ est extraite.

1.4.2. Propriétés

Si une fonction est croissante, décroissante, minorée, majorée ou bornée, toute suite résultant de son échantillonnage aura aussi cette propriété.

Attention, les réciproques sont fausses (trouver des contre-exemples).

1.4.2.1. ROC

Démontrer ces cinq dernières propriétés.

1.4.2.2. Exercice

Montrer de deux façons que $(-3n^2 + 5n + 2)_{n \in \mathbb N^*}$ est décroissante, une qui utilise la définition (version différence de termes consécutifs), une qui utilise l’étude d’une fonction.

2. Limites

2.1. Définitions

2.1.1. Limite infinie

2.1.1.1. Définition

Une suite $u$ a pour limite $+\infty$ lorsque tout intervalle de la forme $\left[ M ; +\infty \right[$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain indice.

Autrement dit, pour tout nombre réel $M$ (destiné à être un grand nombre positif), il existe un rang $N$ (aussi destiné à être grand), à partir duquel les termes de la suite sont supérieurs à $M$.

Et avec plus de symboles mathématiques :
Pour tout $M \in \mathbb R$, il existe un indice $N$ tel que
$n \ge N \Rightarrow u_n \ge M$.

On notera $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$, ou $\lim u = +\infty$.

Cette notation se lit : « la limite de $u_n$ quand $n$ tend vers l’infini vaut plus l’infini », ou simplement « la limite de $u$ est l’infini » voire même « $u_n$ tend vers l’infini quand $n$ tend vers l’infini ». « $u$ tend vers l’infini ».

ditaa diagram

2.1.1.2. Remarques

2.1.1.3. Exemples et contre-exemples

$-\frac{1}{n}$ est croissante et majorée; $\frac{(-1)^n + 1}{2} × n$ est non majorée mais ne tend pas vers l’infini; $n + (-1)^n$ tend vers $+\infty$ mais n’est jamais croissante, même en ne considérant que trois termes consécutifs.

2.1.2. Limite finie

2.1.2.1. Définition

Une suite $u$ tend (ou converge) vers un nombre réel $l$ lorsque tout intervalle ouvert de la forme $\left] l - \epsilon; l + \epsilon \right[$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain indice.

$\epsilon$ est ici un nombre réel strictement positif, destiné à être petit.

Autrement dit, pour tout nombre réel $\epsilon$ strictement positif (destiné à être un petit nombre positif), il existe un rang $N$ (destiné à être grand), à partir duquel les termes $u_n$ de la suite sont tels que : $$u_n \in \left] l - \epsilon; l + \epsilon \right[$$ c’est-à-dire : $$l - \epsilon < u_n < l + \epsilon$$

On notera $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = l$, ou $\lim u = l$.

Cette notation se lit : « la limite de $u_n$ quand $n$ tend vers l’infini vaut $l$ », ou simplement « la limite de $u$ est $l$ » voire même « $u_n$ tend vers $l$ quand $n$ tend vers l’infini » ou plus simplement « $u$ tend vers $l$ ».

ditaa diagram

2.1.2.2. Remarques

2.1.2.3. Exemples

L'activité d'introduction nous a fourni quelques exemples.

Exercice : Soit $(u)$ la suite définie pour $n$ entier naturel non nul par $u_n = \frac{1}{n}$. Montrer que cette suite tend vers 0.

2.1.2.4. Théorême

Une suite convergente est bornée.

Démonstration en exercice.

2.2. Exemples fondamentaux

2.2.1. Suites arithmétiques

Exercice : Suivant la raison $r$ d’une suite arithmétique, donner, si elle existe, sa limite.

Si $r=0$, la suite est constante et converge vers son premier terme.
Sinon, la suite tend vers $-\infty$ ou $+\infty$ suivant le signe de $r$.
Mais tout cela reste à démontrer…

2.2.2. Suites sans limite

Une suite peut ne pas avoir de limite. En voici quelques-unes qui montrent combien les situations peuvent être différentes :

pour $n \in \mathbb N, u_n =$ commentaire
$(-1)^n$ bornée
$\cos (n \pi)$ idem
$\cos (n)$ bornée aussi, mais prend beaucoup de valeurs différentes
$n × \frac{\left( 1+(-1)^n \right)}{2}$ minorée mais non bornée
$n×(-1)^n$ ni minorée, ni majorée

Dans ce cas, il ne faut pas utiliser la notation $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n$, même quand on ne sait pas si la suite a une limite ou non. Cette notation est réservée aux suites qui ont une limite.

2.3. Théorême d’unicité de la limite

On admet que :

Lorsque qu’une suite converge, sa limite est unique.

2.4. Opérations sur les limites

Voir livre page 35.

Trouver des exemples de suites correspondants aux cas de formes indéterminées, en remplissant un tableau de la forme :

Énoncé Exemple 1 Ex2
$u_n$ ? ?
$\lim u$ $+\infty$ $+\infty$
$v_n$ ? ?
$\lim v$ $-\infty$ $-\infty$
$u_n + v_n$ ? ?
$\lim (u+v)$ 0 $+\infty$

Il est possible d’obtenir pour limite de $u+v$ : $0$, $+\infty$, $-\infty$, $7$, voire même pas de limite du tout.

Puis même chose pour le produit et le quotient.

2.5. Comparaisons de suites et limites

Voir livre page 34.

2.6. Pour lever une forme indéterminée

Il existe une multitude de techniques pour lever une indéterminée. Voici quelques exemples.

2.6.1. Suite extraite de fonction polynôme

Considérons la suite définie par $u_n = n^2 -10n + 1$.

2.6.1.1. Définition

Les fonctions polynôme sont définies sur $\mathbb R$ par :

$$ \begin{aligned} f(x) &= \sum_{i = 0}^p a_i x^i \\\\ &= a_p x^p + a_{p-1} x^{p-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \\\\ &(a_p \ne 0) \end{aligned} $$

Ici $f$ est de degré $p$.

2.6.1.2. Exemples de polynômes

2.6.1.3. Propriété

Si $u$ est définie pour tout indice $n$ par $u_n = f(n)$$f$ est une fonction polynôme, alors la limite de $u$ est celle du monôme de plus haut degré de $f$.

2.6.1.4. Exemple

On pose $u_n = 2 n^2 - 5 n + 1$. La suite $u$ a la même limite que celle de la suite $v$, où $v_n = 2 n^2$ (on a gardé le terme de plus haut degré). Comme $v$ tend clairement vers $+\infty$, $u$ aussi.

2.6.1.5. Démonstration

Soit $u$ la suite extraite d’une fonction polynôme. En prenant $a_p \ne 0$, on a :

$$ \begin{aligned} u_n &= a_p n^p + a_{p-1} n^{p-1} + a_{p-2} n^{p-2} + ... + a_2 n^2 + a_1 n + a_0 \\\\ &= a_p n^p \left( 1 + \frac{a_{p-1} n^{p-1}}{a_p n^p} + \frac{a_{p-2} n^{p-2}}{a_p n^p} + ... + \frac{a_2 n^2}{a_p n^p} + \frac{a_1 n}{a_p n^p} + \frac{a_0}{a_p n^p} \right) \\\\ &= a_p n^p \left( 1 + \frac{a_{p-1}}{a_p} \frac{1}{n} + \frac{a_{p-2}}{a_p} \frac{1}{n^2} + ... + \frac{a_2}{a_p} \frac{1}{n^{p-2}} + \frac{a_1}{a_p} \frac{1}{n^{p-1}} + \frac{a_0}{a_p} \frac{1}{n^p} \right) \\\\ \end{aligned} $$

Comme les termes de la forme $\frac{1}{n^?}$ tendent vers 0, la parenthèse tend globalement vers 1. En utilisant les propriétés de la limite d’un produit, on obtient que la suite $u$ a bien la même limite que $a_p n^p$.

Il peut être intéressant de mener les calculs de la démonstration sur un exemple, disons $u_n = 2 n^2 - 5 n + 1$.

$$ \begin{aligned} u_n &= 2 n^2 - 5n + 1 \\ &= 2 n^2 \left(1 - \frac{5n}{2n^2} + \frac{1}{2n^2}\right) \\ &= 2 n^2 \left(1 - \frac{5}{2} \frac{1}{n} + \frac{1}{2} \frac{1}{n^2} \right) \end{aligned} $$

À retenir :

Souvent, pour lever une indéterminée qui fait intervenir l’infini, on factorise par le terme qui semble « écraser » les autres.

2.6.2. Suite extraite de fonction rationnelle

2.6.2.1. Définition

Les fonctions rationnelles sont de la forme $R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$, où $P$ et $Q$ sont des fonctions polynôme, $Q$ n’étant pas le polynôme nul.

2.6.2.2. Remarque étymologique

Un nombre rationnel peut être défini comme quotient d’entiers relatifs. Une fonction rationnelle peut être définie comme quotient de fonctions polynômes.

2.6.2.3. Exemples

2.6.2.4. Propriété

Si $u$ est définie pour tout indice $n$ par $u_n = f(n)$$f$ est une fonction rationnelle, alors la limite de $u$ est celle du quotient des monômes de plus haut degré des numérateurs et dénominateurs de $f$.

2.6.2.5. Un exemple avant la démonstration

$$ \begin{aligned} u_n &= \frac{3n^3 - 2n + 1}{5n^4 - 8n^2 - 1} \\\\ &= \frac{3n^3 \left( 1 - \frac{2}{3n^2} + \frac{1}{3n^3} \right)} {5n^4 \left( 1 - \frac{8}{5n^2} - \frac{1}{5n^4} \right)} \\\\ &= \frac{3}{5} \frac{1}{n} \frac{\left( 1 - \frac{2}{3n^2} + \frac{1}{3n^3} \right)} {\left( 1 - \frac{8}{5n^2} - \frac{1}{5n^4} \right)} \\\\ \end{aligned} $$

2.6.2.6. Démonstration

Soit $f$ une fonction rationnelle et $u$ sa suite extraite. On a :

$$ \begin{aligned} u_n &= \frac{a_p n^p + a_{p-1} n^{p-1} + a_{p-2} n^{p-2} + ... + a_2 n^2 + a_1 n + a_0} {b_q n^q + b_{q-1} n^{q-1} + b_{q-2} n^{q-2} + ... + b_2 n^2 + b_1 n + b_0} \\\\ &= \frac{a_p n^p \left(1 + \frac{a_{p-1} n^{p-1}}{a_p n^p} + ... + \frac{a_0}{a_p n^p} \right)} {b_q n^q \left(1 + \frac{b_{q-1} n^{q-1}}{b_q n^q} + ... + \frac{b_0}{b_q n^q} \right)} \\\\ &= \frac{a_p n^p \left(1 + \frac{a_{p-1}}{a_p} \frac{1}{n} + ... + \frac{a_0}{a_p} \frac{1}{n^p} \right)} {b_q n^q \left(1 + \frac{b_{q-1}}{b_q} \frac{1}{n} + ... + \frac{b_0}{b_q} \frac{1}{n^q} \right)} \\\\ &= \frac{a_p}{b_q} \frac{n^p}{n^q} \frac{1 + \epsilon_1(n)}{1 + \epsilon_2(n)} \end{aligned} $$

$\epsilon_1$ et $\epsilon_2$ sont des fonctions qui tendent vers 0 quand $n$ tend vers $+\infty$.

Comme $\frac{1 + \epsilon_1(n)}{1 + \epsilon_2(n)}$ tend vers 1, on a bien les trois cas suivants :

  1. si $p = q$, alors $\frac{n^p}{n^q} = 1$ et $u$ tend vers $\frac{a_p}{b_q}$,
  2. si $p < q$, alors $u$ tend vers 0,
  3. si $p > q$, $u$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$, suivant le signe de $\frac{a_p}{b_q}$.

2.6.3. Quantité conjuguée

En calculant, pour $a$ et $b$ positifs, $\left( \sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right)$, on obtient un moyen de lever une forme indéterminée de type $(+\infty) - (+\infty)$ lorsque l’on doit étudier une différence de racines carrées.

Il suffit de changer l’écriture problématique en multipliant par $\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$.

Exemple : On pose pour $n$ entier naturel non nul : $u_n = \sqrt{n} - \sqrt{n-1}$. Quelle est la limite de la suite $u$ ?

2.6.4. Croissance comparée

Lors de l’étude des fonctions exponentielles et des fonctions logarithmes, nous obtiendrons des moyens de lever d’autres formes indéterminées.

3. Convergence monotone

On admet que :

Attention, ce théorème nous dit qu’une suite décroissante et positive converge, mais ne nous donne pas sa limite. Tend-elle forcément vers 0 ?




Christophe Gragnic, le 22/09/2015, 17h35'42".






Page générée le 04/12/2016, 10h08'07" (source).
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