tite fractale

Géométrie pure dans l'espace

1. Activité d’introduction

Voir ici.

2. Vocabulaire ensembliste et notations

2.1. Vocabulaire

On rappelle qu'un point peut appartenir à un ensemble (ou pas). En revanche, on ne dit pas qu'un ensemble appartient (ou non) à un autre ensemble. On dit qu'un ensemble est inclus dans un autre ensemble (ou non).

Exemples :

Layer 1

2.2. Comment désigner un plan par des points

Des ensembles contenus dans un même plan seront dits coplanaires. La coplanarité est à la dimension 2 ce que l'alignement est à la dimension 1.

Rappel :

De même pour un plan :

2.3. Le cube de référence

On se réfèrera souvent à ce cube :

    H       G
    +-------+
   /       /|
  /       / |
E+-------+F |
 |       |  |
 |  +D   |  +C
 |       | /
 |       |/
A+-------+B

3. Incidence et parallélisme

3.1. Positions relatives des droites et des plans

3.1.1. Deux droites

Deux droites peuvent être :

Remarques :

Exemples :

3.1.2. Deux plans

Deux plans peuvent être :

Layer 1

Attention, les plans sont infinis dans toutes les directions, et la droite aussi.

Remarque :

Les plans jouent, dans l’espace, le même rôle que les droites dans le plan.

Exemples :

3.1.3. Une droite et un plan

Soit $\mathscr D$ une droite et $\mathscr P$ un plan. On peut avoir :

3.2. Caractérisations du parallélisme

On admet pour l'instant les propriétés suivantes.

3.2.1. Propriété avec une droite et un plan

Un plan $\mathscr P$ est parallèle à une droite $\mathscr D$ s'il contient une droite $\mathscr D'$ parallèle à cette droite $\mathscr D$.

prop para droite et plan

Trouver des exemples dans le cube de référence.

3.2.2. Propriété avec deux droites sécantes

Deux plans $\mathscr P$ et $\mathscr P'$ sont parallèles si $\mathscr P$ contient deux droites strictement sécantes (entre elles) toutes deux parallèles à $\mathscr P'$.

Retenir : Deux droites définissent la direction (orientation) d'un plan.

prop para deux plans

Trouver des exemples dans le cube de référence.

3.2.3. Propriété avec deux plans

Si deux plans sont parallèles, alors tout plan sécant à l'un est sécant à l'autre, et de plus les droites d'intersection sont parallèles.

Autrement dit, dans ce cube :

Si deux plans $\mathscr P_1$ et $\mathscr P_2$ sont parallèles, alors tout plan $\Pi$ sécant à l'un est sécant à l'autre, et de plus les droites d'intersection $d_1$ et $d_2$ sont parallèles.

prop para deux droites

3.2.4. Théorème du toit

Si $d_1$ et $d_2$ sont parallèles et respectivement incluses dans les plans $\mathscr P_1$ et $\mathscr P_2$, et si $\mathscr P_1$ et $\mathscr P_2$ sont sécants, alors l'intersection $\Delta$ de $\mathscr P_1$ et $\mathscr P_2$ est parallèle à $d_1$ et $d_2$.

théorème du toit

4. Orthogonalité

4.1. Deux droites

4.1.1. Définition

Deux droites sont dites orthogonales lorsque leur parallèle respective menée par un point de l'espace sont perpendiculaires.

4.1.2. Exemples

droites orthogonales dans le cube

4.1.3. Remarques

4.2. Une droite et un plan

4.2.1. Définition

Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.

Ici, la droite $d$ est orthogonale au plan $P$. Elle est en particulier orthogonale à $d_1$ et $d_2$.

droite orthogonale à un plan

4.2.2. Théorème

On admet pour l'instant que :

Pour qu'une droite soit orthogonale à un plan, il suffit qu'elle soit orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

Sur cette figure :

droite orthogonale à deux sécantes

On peut dire que pour que la droite $d$ soit orthogonale au plan $P$, il suffit qu'elle soit orthogonale à $d_1$ et $d_2$.

4.3. Deux plans

4.3.1. Définition

Deux plans sont perpendiculaires lorsque l'un d'eux contient une droite orthogonale à l'autre.




Christophe Gragnic, aidé du livre Odyssée, le 29/10/2016, 19h55'26".






Page générée le 04/12/2016, 10h08'07" (source).
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