Suites
1. Modes de génération d’une suite
1.1. Suites définies explicitement
1.1.1. Définition
Une suite $u = \left( u_n \right)_{n \in \mathbb N}$ est définie explicitement s’il existe une fonction $f$ définie sur les entiers naturels (au moins à partir d’un certain indice) telle que pour tout indice $n$, $u_n = f(n)$.
On dira que $u$ est extraite de $f$.
1.1.2. Exemples
1.1.2.1. Carrés
Pour $n \in \mathbb N$, $u_n = n^2$.
Dans ce cas, $f$ est telle que $f(x) = x^2$.
Quelques termes :
$u_0 = f(0) = 0^2 = 0$, $u_1 = f(1) = 1^2 = 1$, $u_2 = f(2) = 2^2 = 4$, …, $u_{10} = f(10) = 10^2 = 100$, …, $u_{100} = f(100) = 100^2 = 10000$, …
Graphique
1.1.2.2. Inverses
Pour $n \in \mathbb N$, $v_n = \frac{1}{n}$.
Dans ce cas, $f$ est telle que $f(x) = \frac{1}{x}$.
Quelques termes :
$v_0$ n’existe pas. $v_1 = f(1) = \frac{1}{1} = 1$, $v_2 = f(2) = \frac{1}{2} = 0,5$, …, $v_{10} = f(10) = \frac{1}{10} = 0,1$, …, $v_{100} = f(100) = \frac{1}{100} = 0,01$, …
Graphique
1.1.2.3. Une autre suite
$w$ est définie par $w_n = \frac{n+1}{n+2}$ pour tout entier naturel.
Ici, la fonction $f$ est définie par $f(x) = \frac{x+1}{x+2}$.
Quelques termes :
$u_0 = f(0) = \frac{0+1}{0+2} = \frac{1}{2}$, $u_1 = f(1) = \frac{1+1}{1+2} = \frac{2}{3}$, $u_2 = f(2) = \frac{2+1}{2+2} = \frac{3}{4}$, …, $u_{10} = f(10) = \frac{10+1}{10+2} = \frac{11}{12}$, …
1.1.3. Remarques
- On peut calculer un terme « lointain » directement (ici 10).
- La représentation graphique de la fonction $f$ « porte » les points de la suite. En effet, les points de $C_f$ sont tels que $y=f(x)$ et la suite est définie par $u_n = f(n)$. On aura donc $n$ en abcisse ($x$) et $u_n$ en ordonnée ($y$). C’est pourquoi on dit que $u$ est extraite de $f$.
- La suite « hérite » des propriétés de $f$ (variations, limite en $+\infty$, voir plus loin).
1.2. Suites définies par récurrence
1.2.1. Définition
Une suite $\left( u_n \right)$ est définie par récurrence s’il existe une fonction $f$ telle que pour tout indice $n$, $u_{n+1} = f(u_n)$.
1.2.2. Exemple
On définit la suite $u$ par :
$$\left \{ \begin{aligned} u_0 &= 1 \\\\ u_{n+1} &= 1 + \frac{4}{u_n}, \text{pour } n \in \mathbb N \\\\ \end{aligned} \right .$$
1.2.2.1. Premiers termes
On remarque que les termes ne peuvent se calculer que de proche en proche. Pour calculer le troisième terme, on a besoin du deuxième terme, à cause de la structure de la définition.
$u_0 = 1$
$u_1 = 1 + \frac{4}{u_0} = … $
$u_2 = 1 + \frac{4}{u_1} = … $
$u_3 = 1 + \frac{4}{u_2} = … $
On comprend mieux pourquoi le domaine de définition de $f$ est complexe à préciser dans la définition. On doit pouvoir calculer l’image de chaque valeur de la suite, qui n’apparaît qu’au fur et à mesure.
1.2.2.2. Représentation graphique
En cours de rédaction…
1.2.3. Remarques
- On a besoin d’un premier terme pour démarrer.
- Le domaine de définition nécessaire pour $f$ est complexe à déterminer.
- On peut écrire cette définition en décalant les indices : pour tout $n$ tel que $n-1$ est un indice, $u_{n} = f(u_{n-1})$.
- Il existe des types de définition par récurrence plus complexes :
- récurrence double (ou triple), où on a besoin des deux (ou trois) termes précédents,
- deux suites avec définitions croisées,
- …
2. Propriétés des suites
2.1. Variations
2.1.1. Définitions
Une suite $u$ est dite croissante (resp. décroissante) si pour tout indice $n$ on a : $u_{n+1} > u_n$ (resp. $u_{n+1} < u_n$).
2.1.2. Caractérisation
Pour obtenir le sens de variation d’une suite, il suffit d’étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ pour tout indice $n$.
2.2. Limites
Voir ce squelette Python.
3. Suites arithmétiques
En cours de rédaction.
4. Suites géométriques
En cours de rédaction.
5. Suites arithmético-géométriques
5.1. Définition
Une suite $u$ est dite arithmético-géométrique s’il existe deux réels $a$ et $b$ tels que pour tout indice $n$, $u_{n+1} = a×u_n + b$.
Attention : on ne peut pas dire qu’une telle suite soit « arithmétique et géométrique ».
C’est une généralisation :
- des suites arithmétiques (pour $a=1$),
- des suites géométriques (pour $b=0$).
Cependant, certaines suites sont ni arithmétiques, ni géométriques, ni arithmético-géométriques.
De plus, on peut montrer que si une suite est arithmétique et géométrique, alors elle est constante.
5.2. Lien avec les suites géométriques
5.2.1. La théorie
Remarque : Ce paragraphe est destiné uniquement à ceux qui veulent savoir pourquoi.
Soit $u$ une suite arithmético-géométrique telle que tout indice $n$, $u_{n+1} = a×u_n + b$. On supposera $a \neq 1$, sinon $u$ est une suite arithmétique (et donc totalement maîtrisée).
On note $v$ la suite telle que pour tout indice $n$, $v_n = u_n + k$, où $k$ est une constante réelle. $v$ est une suite géométrique de raison $a$ si et seulement si :
$$v_{n+1} = a×v_n$$
C’est-à-dire, en exprimant $v$ en fonction de $u$ :
$$u_{n+1} + k = a×(u_n + k)$$
Soit, après avoir exprimé $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ (à gauche) et développé (à droite) :
$$a×u_n + b + k = a×u_n + a×k$$
Après avoir simplifié par $a×u_n$ (ce qui explique que la raison de $v_n$ est celle de $u_n$), on obtient :
$b + k = a×k$ puis $k - a×k = b$ puis $(1-a)×k = -b$ et enfin, si $a \neq 1$ :
$$k = \frac{-b}{1-a} = \frac{b}{a-1}$$
5.2.2. Un exemple
Soit $(u)$ la suite définie par : pour tout indice $n$, $u_{n+1} = 3 u_n + 4$.
Montrer que la suite $(v)$ définie par : pour tout indice $n$, $v_n = u_n + 2$, est géométrique.
Les étapes :
- Commencer par $v_{n+1}$.
- Remplacer $v_{n+1}$ en faisant apparaître $u_{n+1}$.
- Remplacer $u_{n+1}$ en faisant apparaître $u_n$.
- Simplifier.
- Factoriser par la raison.
- Apparaît (comme par magie) $v_n$.
$$ \require{AMSmath} \def\mapright#1{\xrightarrow{#1}} \def\mapdown#1{\Big\downarrow\rlap{\raise2pt{\scriptstyle{#1}}}} \def\mapup#1{\Big\uparrow\rlap{\raise2pt{\scriptstyle{#1}}}} \begin{array}{ccc} v_{n+1} & ? & v_n \\[3pt] \mapdown{\text{cste}} & & \mapup{\text{cste}} \\ u_{n+1}& \mapright{\text{précédent}} & u_n \end{array}\phantom{h} $$
5.2.3. Formule explicite pour les SAG
Comme pour tout indice $n$ on a $v_n = u_n + k$, on a aussi $u_n = v_n - k$. Et en utilisant la formule explicite pour les suites géométriques, on obtient :
$$u_n = v_0 × q^n - k$$