1. Premiers exercices

1.1. Propositions

Voici quelques propositions dépendantes de $n$, notées toutes $P_n$.

1. $n$ est pair
2. $n$ est strictement plus grand que 3
3. $1+2+3+…+n = \frac{n\left(n+1\right)}{2}$

Pour chacune des propositions $P_n$, écrire :

1. $P_1$
2. $P_6$
3. $P_{n+1}$
4. $P_m$
5. $P_{m+1}$

Puis dire si la phrase suivante est vraie :

Si $P_n$ est vraie alors $P_{n+1}$ est vraie.

1.2. Démonstrations

1. Démontrer qu’une suite croissante est minorée par son premier terme.
2. Sur le modèle du premier exemple, démontrer la propriété correspondante pour les suites géométriques.
3. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, on a $\left( a×b \right)^n = a^n × b^n$. Idem avec le quotient.
4. Somme des entiers : montrer que pour tout $n$, $1+2+3+…+n = \frac{1}{2} n \left( n+1 \right)$.
5. Suite d’un exercice d’un chapitre précédent
   1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + … + \frac{1}{2^n}$.
   2. Montrer par récurrence ou en utilisant la somme des termes d’une suite géométrique que pour tout entier naturel $n$, $u_n = 2 - \frac{1}{2^n}$.
   3. Il est maintenant possible de démontrer la convergence de $u$.
6. Démontrer par récurrence que la somme des $n$ premiers nombres impairs vaut $n^2$.
7. Démontrer par récurrence que la suite $u$ définie par : $$u_0 = 16; \forall n \in \mathbb N, u_{n+1} = \sqrt{u_n}$$ est décroissante. Attention, il faut parfois mettre plus d’information dans $P_n$ que ce qu’il est demandé de démontrer. On notera que la suite n’a pas hérité des variations de la fonction.

2. Avec des fonctions

1. Démontrer par récurrence que pour tout $n$, si $f(x)=x^n$, alors $f'(x) = n x^{n-1}$. Vous pourrez écrire $x^{n+1} = x×x^n$.
2. Démontrer que pour tout $n$, on a pour tout réel $x$ : $\exp(x) \ge \frac{x^n}{n!}$. En déduire une généralisation de la propriété de croissance comparée vue au chapitre précédent.

3. Divers

• polygones convexes (en anglais)
• itérations de fonctions (en anglais)
• le carré de la somme des premiers entiers vaut la somme des cubes (en anglais)