1. Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
Une fonction $F$ définie sur $I$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et si sa dérivée est $f$, c’est-à-dire :

• pour tout $x$ de $I$ on a $F'(x) = f(x)$, ou même
• $F' = f$.

1.1. Exemples

Pourrez-vous trouver quelques exemples ?

1.2. Remarques

C’est le processus inverse de la dérivation (qu’il faut donc maîtriser).

$$F \longrightarrow f \longrightarrow f' \longrightarrow f'' \longrightarrow …$$

Nous allons voir tout de suite pourquoi nous parlons d’une primitive et non de la primitive.

2. Propriétés

2.1. Infinité de primitives

Sur un intervalle $I$, si une fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$, alors toute fonction $G$ définie sur $I$ par $G(x) = F(x) + k$ où $k$ est un réel est également une primitive de $f$ sur $I$.

Démonstration laissée en exercice.

Remarque : Comme il y a une infinité de $k$ possibles, $f$ a donc au moins une infinité de primitives.

2.2. Lien entre les primitives

Sur un intervalle $I$, si $F$ et $G$ sont les primitives d’une même fonction $f$, alors il existe un nombre réel $k$ tel que pour tout réel $x$ de $I$ on a :

$$G(x) = F(x) + k$$

Démonstration laissée en exercice (il suffit d’étudier la différence des deux fonctions).

Remarque : Les primitives d’une fonction forment donc une famille de fonctions dont on peut dire :

• deux primitives diffèrent d’une constante,
• une fois une primitive trouvée, nous avons facilement accès à toutes les autres.

2.3. Primitive respectant une condition initiale

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Si $f$ admet une primitive $F$ sur $I$, alors pour tout couple $\left(x_0; y_0\right)$ avec $x_0 \in I$ et $y_0 \in \mathbb R$ il existe une unique primitive $F_0$ telle que $F_0 \left( x_0 \right) = y_0$.

C’est un exercice très classique que de trouver le $k$ séparant $G$ de $F$ connaissant le couple $\left(x_0; y_0 \right)$.

Exercice modèle

On définit $f$ par $f(x) = x$. Trouver la primitive de $f$ qui vaut 2 en 1.

Exemple de rédaction

On note $F(x) = \frac{1}{2} x^2 + K$. $K$ est telle que $F(1)=2$, et donc $\frac{1}{2} 1^2 + K = 2$, c’est-à-dire $K = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

2.4. Lien avec l’intégration

2.4.1. Calcul d’intégrales

2.4.1.1. Théorème

Soit $f$ une fonction définie, continue et positive sur un intervalle $[a;b]$.
Si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a;b]$, alors on a :

$$\int_a^b f(x)~dx = F(b) - F(a)$$

Notation : Afin de faciliter la présentation des calculs, on note :

$$F(b) - F(a) = \left[ F(x) \right]_a^b$$

On prononcera : « F de $x$ entre $a$ et $b$ ».

Remarque : Comme deux primitives ne diffèrent que d’une constante, ce calcul ne dépend pas de la primitive choisie. En effet, pour une autre primitive $G$, comme il existe un $k$ tel que pour tout $x \in [a;b]$ on a $G(x) = F(x) + k$,

$$G(b) - G(a) = \left( F(b) + k \right) - \left( F(a) + k \right) = F(b) - F(a)$$

2.4.1.2. Démonstration

D’après un résultat d’une section du chapitre sur l’intégration, on sait que la fonction $G$ définie sur $[a;b]$ par $G(x) = \int_a^x f(t)~dt$ est une primitive de $f$ sur $[a;b]$.

D’après une section de ce chapitre, on sait qu’il existe un réel $k$ tel que pour tout $x$ de $[a;b]$ on a : $G(x) = F(x) + k$.

$G$ s’annullant en $a$, on a $k = -F(a)$. Finalement, on a pour tout $x$ :

$$\int_a^x f(t)~dt = F(x) - F(a)$$

et en prenant $x = b$ :

$$\int_a^b f(t)~dt = F(b) - F(a)$$

2.4.1.3. Exemple

Calculer $\int_1^3 (4x+2)~dx$.

2.4.2. Existence de primitives

2.4.2.1. Théorème

Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.

2.4.2.2. Démonstration

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$.

La démonstration se fait en admettant :

• que $I$ est un intervalle de la forme $[a;b]$,
• que $f$ admet un minimum sur $I$.

Remarque : il est possible de prouver qu’une fonction continue admet un minimum $m$ sur un intervalle de la forme $[a;b]$.

Voir la démonstration page 244.

2.4.2.3. De l’existence à l’expression

Même si l’on sait qu’une primitive existe c’est une autre affaire que de l’exprimer.

Voir cet article.

3. Tableaux de primitives

3.1. Primitives des fonctions puissance

À partir du tableau des dérivées des fonctions puissance, où $n \neq 0$ et $n' = -n$ :

n	$f(x) = x^n = \frac{1}{x^{n'}}$	$f'(x) = nx^{n-1} = -n' x^{-n'-1} = -n' \frac{1}{x^{n'+1}}$
…	…	…
3	$x^3$	$3x^2$
2	$x^2$	$2x^1 = 2x$
1	$x^1 = x$	$x^0 = 1$
-1	$x^{-1} = \frac{1}{x}$	$-x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$
-2	$x^{-2} = \frac{1}{x^2}$	$-2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$
-3	$x^{-3} = \frac{1}{x^3}$	$-3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}$
…	…	…

on en déduit celui-ci, où $n \neq -1$ :

n	$f(x) = x^n = \frac{1}{x^{n'}}$	$F(x) =~?$
…	…	…
3	$x^3$	$\frac{1}{4} x^4$
2	$x^2$	$\frac{1}{3} x^3$
1	$x^1 = x$	$\frac{1}{2} x^2$
0	$x^0 = 1$	$x$
-2	$x^{-2} = \frac{1}{x^2}$	$-x^{-1} = -\frac{1}{x}$
-3	$x^{-3} = \frac{1}{x^3}$	$-\frac{1}{2} x^{-2} = -\frac{1}{2} \frac{1}{x^2}$
…	…	…

La formule est donc :

si $f(x) = x^n$ alors une primitive de $f$ est $F$ avec $F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1}$.

si $f(x) = \frac{1}{x^n}$ alors une primitive de $f$ est $F$ avec $F(x) = -\frac{1}{n-1} \frac{1}{x^{n-1}}$.

Exercice : Devinettes en groupe.

3.1.1. Tableaux

3.1.2. Primitive manquante

n	$f(x) = x^n$	$f'(x) = nx^{n-1}$	$f'(x) = kx^{n'}$ où $n'=…$
…	…	…	…
3	$x^3$	$3x^2$	2
2	$x^2$	$2x^1 = 2x$	1
1	$x^1 = x$	$x^0 = 1$	0
0	$x^0 = 1$	$0$	pas de $n'$
?	?	$x^{-1} = \frac{1}{x}$	-1
-1	$x^{-1} = \frac{1}{x}$	$-x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$	-2
-2	$x^{-2} = \frac{1}{x^2}$	$-2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$	-3
-3	$x^{-3} = \frac{1}{x^3}$	$-3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}$	-4
…	…	…	…

Lorsque l’on dérive les $x^n$ pour $n \in \mathbb Z$, on s’aperçoit qu’il manque quelque chose à l’arrivée.

La fonction dont la dérivée est la fonction inverse n’est pas une fonction puissance.

3.2. Primitives des autres fonctions usuelles

Voir livre page 243 n°2.

3.3. Primitives et opérations sur les fonctions

3.3.1. Généralités

Rappels :

• La dérivée d’une somme est la somme des dérivées.
• La dérivée d’une différence est la différence des dérivées.
• La dérivée d’un produit par une constante est le produit par cette constante de la dérivée.

Mais :

• La dérivée d’un produit n’est pas le produit des dérivées.
• La dérivée d’un quotient n’est pas le quotient des dérivées.
• La dérivée d’une composée n’est pas la composée des dérivées.

On obtient des propriétés similaires pour les primitives.

Voir livre page 243.

3.3.2. Composition avec fonctions de référence

Rappels :

• La dérivée de $u^n$ est $u'u^{n-1}$.
• La dérivée de $\frac{1}{u^n}$ est $u'u^{-n-1}$.
• …

Donc :

• Une primitive de $u'u^n$ est $\frac{1}{n+1}u^{n+1}$.
• Une primitive de $\frac{u'}{u^n}$ est $-\frac{1}{(n-1)u^{n-1}}$.
• …

3.3.3. Composition avec une fonction affine

Une primitive de $f$ où $f(x) = e ^ {ax + b}$ est $F$ où $F(x) = \frac{1}{a} e ^ {ax + b}$.

Une primitive de $f$ où $f(x) = \ln (ax + b)$ est $F$ où $F(x) = \frac{1}{a} \ln (ax + b)$.

3.4. Quelques trucs

3.4.1. Primitive de la fonction racine

Penser à dériver $u$ où $u(x) = x \sqrt x$.

3.4.2. Primitive de la fonction logarithme

Penser à dériver $u$ où $u(x) = x \ln x$.

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