Point $M$.

1. Radians

Enroulement des réels sur le cercle trigonométrique

Voici un article sur la construction d’angles en radians sans rapporteur.

2. Fonctions cosinus et sinus

2.1. Définitions

Les parenthèses peuvent être omises s’il n’y a pas ambigüité, comme avec la fonction logarithme. On pourra donc écrire $\cos x$ comme on écrit $\ln x$ (ce ne peut pas être un produit.....).

pas

On pourra parfois écrire $\cos^2(x)$ ou $\cos^2 x$ à la place de $(\cos(x))^2$.

Valeurs avec quarts de tours seulement au début.

2.2. Quelques valeurs exactes

Pour le tableau :

$0 \frac{\pi}{6} \frac{\pi}{4} 1 \frac{\pi}{3} \frac{\pi}{2} \frac{2\pi}{3} \frac{3\pi}{4} \frac{5\pi}{6} \pi \frac{7\pi}{6} \frac{4\pi}{3} 2\pi 3\pi 4\pi$

En cadeau, une vidéo intéressante car pleine d’astuces.

2.3. Courbes représentatives

(Code volé ici)

2.4. Propriétés

2.4.1. Périodicité

2.4.1.1. Rappels

2.4.1.2. Multiples d’une période

2.4.1.3. Périodes et plus petite période

spé maths: plus petite période de $cos(mx) + cos(nx)$

Article sur les polynômes comme sommes finies de fonctions périodiques.

2.5. Angles associés

Se représenter mentalement un angle $x$ un peu plus petit que $\frac{\pi}{6}$.

La première famille d’angles sont $x$, $x+\frac{\pi}{2}$, $x+\pi$ ou $x-\pi$ et $x+\frac{3\pi}{2}$ ou $x-\frac{\pi}{2}$, et les angles qui leur sont équivalents.

La seconde famille d’angles sont $-x$, $-x+\frac{\pi}{2}$, $-x+\pi$ ou $-x-\pi$ et $-x+\frac{3\pi}{2}$ ou $-x-\frac{\pi}{2}$, et les angles qui leur sont équivalents.

7 relations à trouver : trois pour $x$, quatre pour $-x$.

2.6. Opérations

2.6.1. cosinus d’une différence

2.6.2. cosinus d’une somme

2.6.3. sinus d’une somme

2.6.4. sinus d’une différence

2.6.5. Duplication

trois pour cos

et demi-angle

2.6.6. Linéarisation

2.7. Dérivation

2.8. Primitives

Si $f$ et $g$ sont respectivement les fonctions cosinus et sinus, une primitive pour chacune peut être définie pas :

$$F(x) = \sin x \text{ et } G(x) = - \cos x$$

2.9. Culture

Cet article en anglais expose des fonctions trigonométriques antiques tels que (toujours en anglais) :

• versine
• vercosine
• coversine
• covercosine
• haversine
• havercosine
• hacoversine
• hacovercosine
• exsecant
• excosecant

Alors estimez-vous heureux d’en avoir si peu à apprendre.

3. Équations

3.1. Modulo deux pi

Si deux angles $x$ et $y$ sont tels que les points $M_x$ et $M_y$ qu’ils définissent sont confondus, alors on peut avoir :

$x = y$

Mais aussi : $x = y + 2\pi$ ; $x = y + 4\pi$ ; $x = y + 6\pi$…

Mais aussi : $x = y - 2\pi$ ; $x = y - 4\pi$ ; $x = y - 6\pi$…

Voire même : $x + 2\pi = y + 4\pi$, entre autres, ce qui revient à l’une des égalités ci-dessus.

(TODO figures avec différents enroulements, exemples d’eq triviales)

3.2. De type cos x = sin x

On remarque que les fonctions sont différentes, mais que c’est la même inconnue.

Le point $M$ qui définit les angles possibles est à l’intersection du cercle trigonométrique et de la droite d’équation $y = x$. On a donc :

$$\begin{aligned} S &= \left\{ \frac{\pi}{4} + 2 k \pi; k \in \mathbb Z \right\} \cup \left\{ \frac{3\pi}{4} + 2 k' \pi; k' \in \mathbb Z \right\} \\\\ &= \left\{ \frac{\pi}{4} + k \pi; k \in \mathbb Z \right\} \\\\ \end{aligned}$$

3.3. De type cos x = cos y

On remarque que cette fois-ci, les fonctions sont les mêmes, mais que ce sont des inconnues différentes.

Les points $M$ et $N$ qui définissent les angles possibles ont la même abscisse. On a donc :

$$\left| \begin{array}{ll} x = y &+ 2 k \pi; k \in \mathbb Z \\\\ x = - y &+ 2 k' \pi; k' \in \mathbb Z \end{array} \right.$$

3.4. De type sin x = sin y

Encore une fois, les fonctions sont les mêmes, mais les inconnues sont différentes.

Les points $M$ et $N$ qui définissent les angles possibles ont la même ordonnée. On a donc :

$$\left| \begin{array}{ll} x = y &+ 2 k \pi; k \in \mathbb Z \\\\ x = \pi - y &+ 2 k' \pi; k' \in \mathbb Z \end{array} \right.$$

3.5. De type cos x = sin y

Cette fois, les fonctions et les inconnues sont différentes, mais on peut passer du $\cos$ au $\sin$ grâce à l’angle associé $\frac{\pi}{4}$.

4. Culture

• Projection de videos :
  • les boules de bowling,
  • les 15 pendules,
    • 
    • 
  • les triangles et les cercles (peut ramer),
  • Simple Harmonic Motion study #5d.
• Rapports d’aires entre polygones réguliers inscrits similaires
• Beaucoup de fonctions trigo
• Moyen mnémotechnique pour égalités du genre tan=sin/cos