Trigonométrie
Point $M$.
1. Radians
Enroulement des réels sur le cercle trigonométrique
| Degrés | Radians |
|---|---|
| 360 | $2\pi$ |
Voici un article sur la construction d’angles en radians sans rapporteur.
2. Fonctions cosinus et sinus
2.1. Définitions
| abscisses | ordonnées |
|---|---|
| x | y |
| horiz. | vertic. |
| cos | sin |
Les parenthèses peuvent être omises s’il n’y a pas ambigüité, comme avec la fonction logarithme. On pourra donc écrire $\cos x$ comme on écrit $\ln x$ (ce ne peut pas être un produit.....).
pas
On pourra parfois écrire $\cos^2(x)$ ou $\cos^2 x$ à la place de $(\cos(x))^2$.
Valeurs avec quarts de tours seulement au début.
2.2. Quelques valeurs exactes
Pour le tableau :
$ 0 \frac{\pi}{6} \frac{\pi}{4} 1 \frac{\pi}{3} \frac{\pi}{2} \frac{2\pi}{3} \frac{3\pi}{4} \frac{5\pi}{6} \pi \frac{7\pi}{6} \frac{4\pi}{3} 2\pi 3\pi 4\pi $
En cadeau, une vidéo intéressante car pleine d’astuces.
2.3. Courbes représentatives
(Code volé ici)
2.4. Propriétés
2.4.1. Périodicité
2.4.1.1. Rappels
2.4.1.2. Multiples d’une période
2.4.1.3. Périodes et plus petite période
spé maths: plus petite période de $cos(mx) + cos(nx)$
Article sur les polynômes comme sommes finies de fonctions périodiques.
2.5. Angles associés
Se représenter mentalement un angle $x$ un peu plus petit que $\frac{\pi}{6}$.
La première famille d’angles sont $x$, $x+\frac{\pi}{2}$, $x+\pi$ ou $x-\pi$ et $x+\frac{3\pi}{2}$ ou $x-\frac{\pi}{2}$, et les angles qui leur sont équivalents.
La seconde famille d’angles sont $-x$, $-x+\frac{\pi}{2}$, $-x+\pi$ ou $-x-\pi$ et $-x+\frac{3\pi}{2}$ ou $-x-\frac{\pi}{2}$, et les angles qui leur sont équivalents.
7 relations à trouver : trois pour $x$, quatre pour $-x$.
| première famille | seconde famille |
|---|---|
| $\cos(x) = \cos(x)$ | $\cos(-x) = \cos(x)$ |
| $\cos(x + \frac{\pi}{2}) = -\sin(x)$ | $\cos(-x + \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin(x)$ |
| $\cos(x + \pi) = -\cos(x)$ | $\cos(-x + \pi) = \cos(\pi - x) = -\cos(x)$ |
| $\cos(x - \pi) = -\cos(x)$ | $\cos(-x - \pi) = -\cos(x)$ |
| $\cos(x + \frac{3\pi}{2}) = \sin(x)$ | $\cos(-x + \frac{3\pi}{2}) = -\sin(x)$ |
| $\cos(x - \frac{\pi}{2}) = \sin(x)$ | $\cos(-x - \frac{\pi}{2}) = -\sin(x)$ |
| $\sin(x) = \sin(x)$ | $\sin(-x) = -\sin(x)$ |
| $\sin(x + \frac{\pi}{2}) = \cos(x)$ | $\sin(-x + \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos(x)$ |
| $\sin(x + \pi) = -\sin(x)$ | $\sin(-x + \pi) = \sin(\pi - x) = \sin(x)$ |
| $\sin(x - \pi) = -\sin(x)$ | $\sin(-x - \pi) = \sin(x)$ |
| $\sin(x + \frac{3\pi}{2}) = -\cos(x)$ | $\sin(-x + \frac{3\pi}{2}) = -\cos(x)$ |
| $\sin(x - \frac{\pi}{2}) = -\cos(x)$ | $\sin(-x - \frac{\pi}{2}) = -\cos(x)$ |
À quelles cases du tableau ci-dessus cette citation correspond-elle ?
2.6. Opérations
2.6.1. cosinus d’une différence
2.6.2. cosinus d’une somme
2.6.3. sinus d’une somme
2.6.4. sinus d’une différence
2.6.5. Duplication
trois pour cos
et demi-angle
2.6.6. Linéarisation
2.7. Dérivation
2.8. Primitives
Si $f$ et $g$ sont respectivement les fonctions cosinus et sinus, une primitive pour chacune peut être définie pas :
$$ F(x) = \sin x \text{ et } G(x) = - \cos x $$
2.9. Culture
Cet article en anglais expose des fonctions trigonométriques antiques tels que (toujours en anglais) :
- versine
- vercosine
- coversine
- covercosine
- haversine
- havercosine
- hacoversine
- hacovercosine
- exsecant
- excosecant
Alors estimez-vous heureux d’en avoir si peu à apprendre.
3. Équations
3.1. Modulo deux pi
Si deux angles $x$ et $y$ sont tels que les points $M_x$ et $M_y$ qu’ils définissent sont confondus, alors on peut avoir :
$x = y$
Mais aussi : $x = y + 2\pi$ ; $x = y + 4\pi$ ; $x = y + 6\pi$…
Mais aussi : $x = y - 2\pi$ ; $x = y - 4\pi$ ; $x = y - 6\pi$…
Voire même : $x + 2\pi = y + 4\pi$, entre autres, ce qui revient à l’une des égalités ci-dessus.
(TODO figures avec différents enroulements, exemples d’eq triviales)
3.2. De type cos x = sin x
On remarque que les fonctions sont différentes, mais que c’est la même inconnue.
Le point $M$ qui définit les angles possibles est à l’intersection du cercle trigonométrique et de la droite d’équation $y = x$. On a donc :
$$ \begin{aligned} S &= \left\{ \frac{\pi}{4} + 2 k \pi; k \in \mathbb Z \right\} \cup \left\{ \frac{3\pi}{4} + 2 k' \pi; k' \in \mathbb Z \right\} \\\\ &= \left\{ \frac{\pi}{4} + k \pi; k \in \mathbb Z \right\} \\\\ \end{aligned} $$
3.3. De type cos x = cos y
On remarque que cette fois-ci, les fonctions sont les mêmes, mais que ce sont des inconnues différentes.
Les points $M$ et $N$ qui définissent les angles possibles ont la même abscisse. On a donc :
$$ \left| \begin{array}{ll} x = y &+ 2 k \pi; k \in \mathbb Z \\\\ x = - y &+ 2 k' \pi; k' \in \mathbb Z \end{array} \right. $$
3.4. De type sin x = sin y
Encore une fois, les fonctions sont les mêmes, mais les inconnues sont différentes.
Les points $M$ et $N$ qui définissent les angles possibles ont la même ordonnée. On a donc :
$$ \left| \begin{array}{ll} x = y &+ 2 k \pi; k \in \mathbb Z \\\\ x = \pi - y &+ 2 k' \pi; k' \in \mathbb Z \end{array} \right. $$
3.5. De type cos x = sin y
Cette fois, les fonctions et les inconnues sont différentes, mais on peut passer du $\cos$ au $\sin$ grâce à l’angle associé $\frac{\pi}{4}$.
