Ce chapître requiert celui de trigonométrie :

• lignes trigonométriques,
• parité,
• $\cos$ et $\sin$ d’une somme,
• …

Table des matières :

1. Activité rapide d’introduction

Soit $O$ le point d’affixe $0$, $A$ le point d’affixe $1$ et $B$ le point d’affixe $1+i\sqrt 3$.

Calculer $OA$, $OB$ et une mesure de l’angle $\widehat{AOB}$.

2. Affixe et image

Soit un repère orthonormé direct $\left( 0; \vec u; \vec v \right)$.

On peut aussi noter $z_M$ l’affixe de $M$.

On parle aussi de l’affixe d’un vecteur. On a :

• Si $A$ et $B$ sont deux points du plan, $z_{\vec {AB}} = z_B - z_A$.
  En effet : $$\begin{aligned} z_{\vec {AB}} &= (x_B - x_A) + i(y_B - y_A) \\\\ &= x_B + i y_B - x_A - i y_A \\\\ &= x_B + i y_B - (x_A + i y_A) \end{aligned}$$
• Si $\vec w_1$ et $\vec w_2$ sont deux vecteurs, $z_{\vec w_1 + \vec w_2} = z_{\vec w_1} + z_{\vec w_2}$.
  (calcul)
• Si $k$ est un nombre réel, $z_{k \vec w} = k z_{\vec w}$.
  (calcul)

3. Module d'un nombre complexe

3.1. Définition

Soit $z$ un nombre complexe d'écriture algébrique $z = a + ib$. Le module de $z$ est noté $\left| z \right|$ et est défini par $\left| z \right| = \sqrt{a^2 + b^2}$.

3.2. Exemples et remarques

• Dans un repère orthonormé, si A est le point de coordonnées (a;b), alors $\left| z \right| = OA$.
• $\left| 3 - 5i \right| = …$
• Il est parfois plus présentable de calculer le carré du module avant de calculer le module lui-même (comme pour le théorème de Pythagore).
• Si $z$ est réel, $$\begin{aligned} \left| z \right| &= \left| a + 0i\right| \\\\ &= \sqrt {a^2 + 0^2} \\\\ &= \sqrt {a^2} \\\\ &= \underbrace{\left| a \right|}_{\text{val. absolue}} \end{aligned}$$ On peut dire que le module étend la notion de valeur absolue (ce qui est cohérent avec la notation).
• Si $z$ est imaginaire pur, $\left| z \right| = \left| 0 + ib \right| = \sqrt {b^2} = \left| b \right|$.
  (On rappelle que la partie imaginaire est réelle).

3.3. Propriétés du module

Pour tous complexes $z$ et $z'$, on a les propriétés ou égalités suivantes :

1. $\left| z \right|$ est un réel positif, d’où de plus :
   • $\left| \left| z \right| \right| = \left| z \right|$ (le module est idempotent, comme une projection)
   • $\overline {\left| z \right|} = \left| z \right|$
2. Avec zéro, opposé et conjugué :
   1. Si $z$ est nul, $\left| z \right| = 0$.
   2. Réciproquement, si $\left| z \right| = 0$, alors $z = 0$.
   3. $\left| -z \right| = \left| z \right|$
   4. $\left| \overline z \right| = \left| z \right|$
3. $z \overline z = \left| z \right| ^2$
4. Avec le produit :
   1. $\left| z×z' \right| = \left| z \right| × \left| z' \right|$
   2. si $k \in \mathbb R$, $\left| k×z \right| = \left| k \right| × \left| z \right|$, où les premières barres peuvent être vues comme la valeur absolue, et les autres comme le module.
      Exemple : $\left| -4 z \right| = 4 \left| z \right|$
   3. pour $n \in \mathbb N$, $\left| z^n \right| = \left| z \right|^n$
5. Avec le quotient :
   1. si $z \ne 0$, $\left| \frac{1}{z} \right| = \frac{1}{\left| z \right|}$
   2. si $z' \ne 0$, $\left| \frac{z}{z'} \right| = \frac{\left| z \right|}{\left| z' \right|}$
   3. si $z \ne 0$, $\left| \frac{z}{ \left| z \right|} \right| = 1$
   4. si $z \ne 0$, $\left| \frac{z}{\overline z} \right| = 1$ (anecdotique)
6. Avec la somme :
   • $\left| z+z' \right| \le \left| z \right| + \left| z' \right|$ (inégalité triangulaire)
   • L’égalité est un cas très particulier, vu dans un prochain chapitre.
7. Avec les parties réelles et imaginaires :
   • $\left| \mathcal{Re} (z) \right| \le \left| z \right|$
   • $\left| \mathcal{Im} (z) \right| \le \left| z \right|$

Il est intéressant de traduire chacune de ces égalités par une phrase en français.

Démonstrations laissées en exercice, avec indications :

1. Directement d’après la définition (la racine carrée de la somme de carrés de nombres réels est un réel positif ou nul).
   • Le module d'un réel positif ou nul est ce même réel.
   • Le conjugué d'un réel est ce même réel.
2. Avec zéro, opposé et conjugué :
   1. Si $z$ est nul, $\left| z \right| = \left| 0 + 0i \right| = \sqrt {0^2 + 0^2} = \sqrt 0 = 0$.
   2. En posant $z=a+ib$, on a $\sqrt {a^2 + b^2} = 0$.
      Comme seul 0 annule la fonction racine carrée, on a $a^2 + b^2 = 0$.
      Ces carrés étant positifs ou nuls, la seule façon d'annuler la somme est qu'ils soient nuls tous les deux. On a donc $a^2 = 0$ et $b^2 = 0$. Comme seul 0 annule la fonction carré, on a $a=0$ et $b=0$, c'est-à-dire $z = 0$.
   3. Directement d’après la définition, car un réel a le même carré que son opposé.
   4. Idem.
3. Vu dans les propriétés du conjugué.
4. Avec le produit :
   1. Utiliser la forme algébrique ou $z \overline z$.
   2. Cas particulier de la propriété précédente, $\left| k \right|$ est en fait la valeur absolue de $k$.
   3. Par récurrence.
5. Avec le quotient :
   1. Utiliser la forme algébrique (calcul similaire à un calcul fait pour le conjugué de l'inverse).
   2. Découle des propriétés précédentes (le quotient est le produit par l’inverse).
   3. On peut utiliser une propriété précédente en posant $k = \frac{1}{\left| z \right|}$ si on utilise le produit ou $k = \left| z \right|$ si on utilise le quotient.
   4. Découle des propriétés précédentes.
6. Avec la somme :
   • Calculer les carrés des modules en utilisant les formes algébriques.
     On peut aussi raisonner géométriquement.
   • À explorer soi-même, excellent travail de recherche !
7. On peut utiliser la forme algébrique de $z$ ou raisonner géométriquement.

4. Argument

4.1. Définition

Soit $z$ un nombre complexe non nul, et $M$ son image dans un repère orthonormé direct $\left( 0; \vec u; \vec v \right)$. Un argument de $z$ est une mesure en radians de l’angle orienté $\left( \vec u; \vec {OM} \right)$.
On le note $\arg (z)$.

4.2. Remarques et premiers exemples

• Un argument est défini à $2 \pi$ près. Un nombre complexe a donc une infinité d’arguments.
• $\arg (1) = …$
• $\arg (2) = …$
• $\arg (i) = …$
• $\arg (2i) = …$
• $\arg (-1) = …$
• $\arg (-i) = …$
• $\arg (1 + i \sqrt 3) = …$
• $\arg (\sqrt 3 + i) = …$

L’image $M$ d’un complexe $z$ peut être repérée grâce à :

• $\mathcal {Re}(z)$ et $\mathcal {Im}(z)$ (abscisse et ordonnée en coordonnées cartésiennes) ;
• $\left|z\right|$ et $arg z$ (distance à l’origine et angle en coordonnées polaires).

5. Forme trigonométrique

5.1. Projection sur le cercle trigonométrique

5.2. Propriété fondamentale de l’argument

Pour tout nombre réel $\theta$, on pose $f(\theta) = \cos \theta + i \sin \theta$.

La fonction $f$ est donc définie sur $\mathbb R$ et prend ses valeurs dans $\mathbb C$.

$f(\theta)$ est l’affixe du point du cercle trigonométrique de coordonnées $(cos(\theta);sin(\theta))$. (schéma)

Soit $\theta$ et $\theta'$ deux nombres réel. On a :

$$\begin{aligned} f(\theta)×f(\theta') &= \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) × \left( \cos \theta' + i \sin \theta' \right) &(1) \\\\ &= \cos \theta × \cos \theta' + \cos \theta × i \sin \theta' + i \sin \theta × \cos \theta' + i \sin \theta × i \sin \theta' &(2) \\\\ &= \left( \cos \theta \cos \theta' - \sin \theta \sin \theta' \right) + i \left( \cos \theta \sin \theta' + \sin \theta \cos \theta' \right) &(3) \\\\ &= \cos (\theta + \theta') + i \sin (\theta + \theta') &(4) \\\\ &= f(\theta + \theta') &(5) \end{aligned}$$

1. Définition de $f$.
2. Développement (pour les débutants).
3. Distinction partie réelle et imaginaire.
4. Cosinus et sinus d’une somme.
5. Définition de $f$.

Tout se passe comme si l’argument d’un produit était la somme des arguments.

5.3. Propriétés de l’argument

On note que les éléments neutres sont respectés puisque $f(0) = 1$, et on pourrait montrer de même que :

$$\begin{aligned} \frac{f(\theta)}{f(\theta')} &= f(\theta - \theta') \\\\ \frac{1}{f(\theta')} &= f(- \theta') \\\\ f(\theta)^2 &= f(2 \theta) \end{aligned}$$

D’où les propriétés suivantes :

$$\begin{aligned} arg(z z') &= arg(z) + arg(z') & \left[ 2\pi \right] \\\\ arg(\frac{z}{z'}) &= arg(z) - arg(z') & \left[ 2\pi \right] \\\\ arg(\frac{1}{z}) &= -arg(z) & \left[ 2\pi \right] \\\\ arg(z^2) &= 2 arg(z) & \left[ 2\pi \right] \\\\ arg(z^n) &= n arg(z) & \left[ 2\pi \right] \\\\ \end{aligned}$$

Avec des dénominateurs non nuls et $n$ un entier.

De plus, si $k>0$ alors $arg(kz) = arg(z) \left[ 2\pi \right]$, et si $k<0$ alors $arg(kz) = arg(z) + \pi \left[ 2\pi \right]$.

5.4. Avec des vecteurs

Il est intéressant de regarder le sens de la deuxième égalité si on considère que $z$ et $z'$ sont les affixes des vecteurs, disons $\vec n$ et $\vec m$. On a, à $2\pi$ près :

$$\begin{aligned} arg(\frac{z_{\vec n}}{z_{\vec m}}) &= arg(z_{\vec n}) - arg(z_{\vec m}) \\\\ &= \left( \vec u; \vec n \right) - \left( \vec u; \vec m \right) \\\\ &= \left( \vec u; \vec n \right) + \left( \vec m; \vec u \right) \\\\ &= \left( \vec m; \vec u \right) + \left( \vec u; \vec n \right) \\\\ &= \left( \vec m ; \vec n \right) \\\\ \end{aligned}$$

Le principe du « la fin moins le début » se traduit par « la fin divisée par le début ».

6. Forme exponentielle

6.1. Définition

6.2. Exemples

$iz = r e^{i(\theta + \frac{\pi}{2})}$

$-z = r e^{i(\theta + \pi)}$

6.3. Exercice type

Sachant que $\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$, écrire de deux façons le nombre $e ^ {i \frac{\pi}{12}}$. En déduire les valeurs exactes de $\cos \frac{\pi}{12}$ et $\sin \frac{\pi}{12}$.

7. Liens avec la géométrie

Soit $M$ le point d’affixe $z$.

Pour visualiser l’égalité $Z=\frac{z - z_A}{z_B - z_A} = r e^{i\theta}$, nous allons fixer $z_A = 0$ et $z_B = 1$ et étudier les cas suivants :

• $z=0$
• $z=1$
• $z=2$
• $z=3$
• $z=\frac{1}{2}$
• $z=i$
• $z=1+i$
• $z=2+2i$
• $z=-1+i$

Calculer $Z$ puis faire une figure dans chaque cas.

Conclure par une figure qui décrit le cas général.